পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

অধ্যায়ের মূল সূত্র

• sin(90° − θ) = cos θ

• cos(90° − θ) = sin θ

• tan(90° − θ) = cot θ

• cot(90° − θ) = tan θ

• sec(90° − θ) = cosec θ

• cosec(90° − θ) = sec θ

• যদি A + B = 90° হয়, তবে sin A = cos B, cos A = sin B, tan A = cot B এবং cot A = tan B।

বিভাগ A: বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)

প্রশ্ন 1: sin(90° − θ) সমান—

উত্তর: ক) sin θ; খ) cos θ; গ) tan θ; ঘ) sec θ
সঠিক উত্তর: খ) cos θ

প্রশ্ন 2: cos(90° − θ) সমান—

উত্তর: ক) sin θ; খ) cos θ; গ) cot θ; ঘ) cosec θ
সঠিক উত্তর: ক) sin θ

প্রশ্ন 3: tan(90° − θ) সমান—

উত্তর: ক) tan θ; খ) sec θ; গ) cot θ; ঘ) sin θ
সঠিক উত্তর: গ) cot θ

প্রশ্ন 4: cosec(90° − θ) সমান—

উত্তর: ক) sec θ; খ) tan θ; গ) cos θ; ঘ) cot θ
সঠিক উত্তর: ক) sec θ

প্রশ্ন 5: যদি A + B = 90° হয়, তবে cos A =—

উত্তর: ক) cos B; খ) sin B; গ) tan B; ঘ) sec B
সঠিক উত্তর: খ) sin B

প্রশ্ন 6: sin 30° সমান—

উত্তর: ক) cos 30°; খ) cos 60°; গ) sin 60°; ঘ) tan 60°
সঠিক উত্তর: খ) cos 60°

প্রশ্ন 7: tan 25° সমান—

উত্তর: ক) tan 65°; খ) cot 65°; গ) sin 65°; ঘ) sec 65°
সঠিক উত্তর: খ) cot 65°

প্রশ্ন 8: sec 40° সমান—

উত্তর: ক) cosec 40°; খ) cosec 50°; গ) cot 50°; ঘ) tan 50°
সঠিক উত্তর: খ) cosec 50°

প্রশ্ন 9: যদি θ = 20°, তবে cos(90° − θ) =—

উত্তর: ক) cos 20°; খ) sin 20°; গ) sin 70°; ঘ) tan 20°
সঠিক উত্তর: খ) sin 20°

প্রশ্ন 10: cot 15° সমান—

উত্তর: ক) tan 15°; খ) tan 75°; গ) cot 75°; ঘ) sin 75°
সঠিক উত্তর: খ) tan 75°

প্রশ্ন 11: sin 72° সমান—

উত্তর: ক) cos 18°; খ) sin 18°; গ) tan 18°; ঘ) cot 18°
সঠিক উত্তর: ক) cos 18°

প্রশ্ন 12: cos 12° সমান—

উত্তর: ক) sin 12°; খ) sin 78°; গ) cos 78°; ঘ) tan 78°
সঠিক উত্তর: খ) sin 78°

প্রশ্ন 13: tan 38° সমান—

উত্তর: ক) cot 38°; খ) cot 52°; গ) tan 52°; ঘ) sec 52°
সঠিক উত্তর: খ) cot 52°

প্রশ্ন 14: cosec 20° সমান—

উত্তর: ক) sec 20°; খ) sec 70°; গ) tan 70°; ঘ) cot 70°
সঠিক উত্তর: খ) sec 70°

প্রশ্ন 15: যদি A + B = 90° হয়, তবে tan A × tan B =—

উত্তর: ক) 0; খ) 1; গ) 2; ঘ) tan²A
সঠিক উত্তর: খ) 1

প্রশ্ন 16: যদি A + B = 90° হয়, তবে sin A / cos B =—

উত্তর: ক) 0; খ) 1; গ) 2; ঘ) sin B
সঠিক উত্তর: খ) 1

প্রশ্ন 17: যদি θ = 35°, তবে tan(90° − θ) =—

উত্তর: ক) tan 35°; খ) cot 35°; গ) sin 35°; ঘ) sec 35°
সঠিক উত্তর: খ) cot 35°

প্রশ্ন 18: sec 65° সমান—

উত্তর: ক) cosec 25°; খ) cosec 65°; গ) tan 25°; ঘ) cot 25°
সঠিক উত্তর: ক) cosec 25°

প্রশ্ন 19: cos 0° সমান—

উত্তর: ক) sin 0°; খ) sin 90°; গ) tan 0°; ঘ) cot 90°
সঠিক উত্তর: খ) sin 90°

প্রশ্ন 20: sin 90° সমান—

উত্তর: ক) cos 0°; খ) cos 90°; গ) tan 90°; ঘ) sin 0°
সঠিক উত্তর: ক) cos 0°

বিভাগ B: সংক্ষিপ্ত প্রশ্নোত্তর

প্রশ্ন 1: পূরক কোণ কাকে বলে?

উত্তর: দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। যেমন ৩০° ও ৬০° পরস্পরের পূরক কোণ।

প্রশ্ন 2: পূরক কোণের ছয়টি ত্রিকোণমিতিক সম্পর্ক লেখো।

উত্তর: sin(90°−θ)=cosθ; cos(90°−θ)=sinθ; tan(90°−θ)=cotθ; cot(90°−θ)=tanθ; sec(90°−θ)=cosecθ; cosec(90°−θ)=secθ।

প্রশ্ন 3: sin 27°-কে cos-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর: sin 27° = cos(90°−27°) = cos 63°।

প্রশ্ন 4: cos 19°-কে sin-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর: cos 19° = sin(90°−19°) = sin 71°।

প্রশ্ন 5: tan 32°-কে cot-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর: tan 32° = cot(90°−32°) = cot 58°।

প্রশ্ন 6: cot 41°-কে tan-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর: cot 41° = tan(90°−41°) = tan 49°।

প্রশ্ন 7: sec 28°-কে cosec-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর: sec 28° = cosec(90°−28°) = cosec 62°।

প্রশ্ন 8: cosec 17°-কে sec-এর সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর: cosec 17° = sec(90°−17°) = sec 73°।

প্রশ্ন 9: sin 63°-এর সমান একটি cosine অনুপাত লেখো।

উত্তর: sin 63° = cos 27°।

প্রশ্ন 10: cos 74°-এর সমান একটি sine অনুপাত লেখো।

উত্তর: cos 74° = sin 16°।

প্রশ্ন 11: tan 21°-এর সমান একটি cot অনুপাত লেখো।

উত্তর: tan 21° = cot 69°।

প্রশ্ন 12: sec 53°-এর সমান একটি cosec অনুপাত লেখো।

উত্তর: sec 53° = cosec 37°।

প্রশ্ন 13: যদি A+B=90° হয়, তবে sin A ও cos B-এর সম্পর্ক কী?

উত্তর: sin A = cos(90°−A)। যেহেতু B=90°−A, তাই sin A = cos B।

প্রশ্ন 14: যদি A+B=90° হয়, তবে tan A ও cot B-এর সম্পর্ক কী?

উত্তর: B=90°−A, তাই cot B = cot(90°−A)=tan A। সুতরাং tan A=cot B।

প্রশ্ন 15: tan 60°-কে cot-এর সাহায্যে লেখো।

উত্তর: tan 60° = cot 30°।

প্রশ্ন 16: sin 45°-কে cosine-এর সাহায্যে লেখো।

উত্তর: sin 45° = cos 45°।

প্রশ্ন 17: cos 35°-কে sine-এর সাহায্যে লেখো।

উত্তর: cos 35° = sin 55°।

প্রশ্ন 18: tan 10°-কে cot-এর সাহায্যে লেখো।

উত্তর: tan 10° = cot 80°।

প্রশ্ন 19: যদি sin A = cos 25° এবং A সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে A কত?

উত্তর: sin A=cos25°=sin65°। A সূক্ষ্মকোণ বলে A=65°।

প্রশ্ন 20: যদি tan A = cot 34° এবং A সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে A কত?

উত্তর: cot34°=tan(90°−34°)=tan56°। তাই tan A=tan56° এবং A=56°।

বিভাগ C: ৩ নম্বরের প্রশ্নোত্তর

প্রশ্ন 1: sin 18° = cos 72° প্রমাণ করো।

উত্তর: আমরা জানি, sin θ = cos(90°−θ)। এখানে θ=18° বসালে sin18°=cos(90°−18°)=cos72°। অতএব প্রমাণিত।

প্রশ্ন 2: tan 37° = cot 53° প্রমাণ করো।

উত্তর: cot(90°−θ)=tanθ। θ=37° হলে cot53°=tan37°। অতএব tan37°=cot53° প্রমাণিত।

প্রশ্ন 3: sec 22° = cosec 68° প্রমাণ করো।

উত্তর: sec θ = cosec(90°−θ)। θ=22° বসালে sec22°=cosec68°। অতএব প্রমাণিত।

প্রশ্ন 4: যদি A+B=90°, তবে cos A=sin B প্রমাণ করো।

উত্তর: A+B=90° ⇒ B=90°−A। তাই sin B=sin(90°−A)=cos A। সুতরাং cos A=sin B।

প্রশ্ন 5: যদি A+B=90°, তবে tan A×tan B=1 প্রমাণ করো।

উত্তর: B=90°−A ⇒ tan B=tan(90°−A)=cot A। তাই tan A×tan B=tan A×cot A=tan A×(1/tan A)=1।

প্রশ্ন 6: যদি A+B=90°, তবে sin A/sin B = tan A প্রমাণ করো।

উত্তর: B=90°−A হলে sin B=cos A। সুতরাং sin A/sin B=sin A/cos A=tan A।

প্রশ্ন 7: যদি A+B=90°, তবে cos A/cos B = cot A প্রমাণ করো।

উত্তর: B=90°−A ⇒ cos B=cos(90°−A)=sin A। তাই cos A/cos B=cos A/sin A=cot A।

প্রশ্ন 8: sin 24° + cos 66°-এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর: cos66°=sin24°। তাই sin24°+cos66°=2sin24°। এই অধ্যায়ের সূত্রে সরলীকৃত মান 2sin24°।

প্রশ্ন 9: tan 15°×tan 75°-এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর: tan75°=cot15°=1/tan15°। তাই tan15°×tan75°=tan15°×1/tan15°=1।

প্রশ্ন 10: sin 32°/cos 58°-এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর: cos58°=sin32°। সুতরাং sin32°/cos58°=sin32°/sin32°=1।

বিভাগ D: ৪ নম্বরের প্রশ্নোত্তর

প্রশ্ন 1: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: tan A tan B = 1।

উত্তর: প্রদত্ত, A+B=90°। সুতরাং B=90°−A। পূরক কোণের সূত্র থেকে tan B=tan(90°−A)=cot A। অতএব tan A×tan B=tan A×cot A=tan A×(1/tan A)=1। সুতরাং tan A tan B=1 প্রমাণিত।

প্রশ্ন 2: প্রমাণ করো: (sin 25°)/(cos 65°)=1।

উত্তর: আমরা জানি cos θ=sin(90°−θ)। তাই cos65°=sin25°। সুতরাং (sin25°)/(cos65°)=sin25°/sin25°=1। অতএব প্রমাণিত।

প্রশ্ন 3: প্রমাণ করো: sec 38° = cosec 52°।

উত্তর: পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী sec θ=cosec(90°−θ)। এখানে θ=38° হলে sec38°=cosec(90°−38°)=cosec52°। অতএব প্রমাণিত।

প্রশ্ন 4: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: (sin A)/(cos B)=1।

উত্তর: A+B=90° ⇒ B=90°−A। তাই cosB=cos(90°−A)=sinA। সুতরাং sinA/cosB=sinA/sinA=1। অতএব প্রমাণিত।

প্রশ্ন 5: প্রমাণ করো: (tan 28°)/(cot 62°)=1।

উত্তর: cot62°=tan(90°−62°)=tan28°। তাই tan28°/cot62°=tan28°/tan28°=1। অতএব প্রমাণিত।

প্রশ্ন 6: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: sin A cos A = sin A sin B।

উত্তর: B=90°−A হওয়ায় sinB=sin(90°−A)=cosA। তাই sinA sinB=sinA cosA। সুতরাং সমতা প্রমাণিত।

প্রশ্ন 7: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: cos A sin B = cos² A।

উত্তর: B=90°−A ⇒ sinB=cosA। তাই cosA sinB=cosA×cosA=cos²A। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 8: প্রমাণ করো: tan 20° tan 70°=1।

উত্তর: tan70°=tan(90°−20°)=cot20°। তাই tan20°×tan70°=tan20°×cot20°=1। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 9: যদি sin A=cos(2A) এবং A সূক্ষ্মকোণ, তবে A নির্ণয় করো (যেখানে 2A সূক্ষ্মকোণ)।

উত্তর: sinA=cos2A=sin(90°−2A)। তাই A=90°−2A (উভয় কোণ সূক্ষ্মকোণ হওয়ায়)। সুতরাং 3A=90° এবং A=30°।

প্রশ্ন 10: সরল করো: (sin 36°)/(cos 54°) + (tan 42°)/(cot 48°)।

উত্তর: cos54°=sin36°, তাই প্রথম ভগ্নাংশ=1। আবার cot48°=tan42°, তাই দ্বিতীয় ভগ্নাংশ=1। মোট মান=1+1=2।

বিভাগ E: ৫ নম্বরের বিস্তারিত প্রশ্নোত্তর

প্রশ্ন 1: প্রমাণ করো: যদি A+B=90° হয়, তবে tan A tan B=1 এবং sin A=cos B।

উত্তর: ধাপ ১: A+B=90° ⇒ B=90°−A।
ধাপ ২: পূরক কোণের সূত্র থেকে tanB=tan(90°−A)=cotA।
ধাপ ৩: tanA×tanB=tanA×cotA=tanA×(1/tanA)=1।
ধাপ ৪: আবার sinB=sin(90°−A)=cosA। একইভাবে cosB=cos(90°−B)=sinA।
অতএব tanA tanB=1 এবং sinA=cosB—উভয় সম্পর্কই প্রমাণিত।

প্রশ্ন 2: সরল করো: (sin 18°/cos 72°) + (tan 35°/cot 55°) + (sec 40°/cosec 50°)।

উত্তর: প্রথম পদ: cos72°=sin18°, তাই sin18°/cos72°=1।
দ্বিতীয় পদ: cot55°=tan35°, তাই tan35°/cot55°=1।
তৃতীয় পদ: cosec50°=sec40°, তাই sec40°/cosec50°=1।
সুতরাং মোট মান=1+1+1=3।

প্রশ্ন 3: প্রমাণ করো: (sin A/cos B) + (cos A/sin B)=tan A+cot A, যখন A+B=90°।

উত্তর: A+B=90° ⇒ cosB=sinA এবং sinB=cosA। তাই বামপক্ষ = sinA/sinA + cosA/cosA =1+1=2। ডানপক্ষ tanA+cotA সাধারণভাবে 2 নয়; তাই প্রদত্ত সমতাটি সর্বদা সত্য নয়। সঠিক সম্পর্কটি হলো (sinA/cosB)+(cosA/sinB)=2।

প্রশ্ন 4: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: (tan A + tan B)/(tan A tan B)=tan A+tan B।

উত্তর: B=90°−A ⇒ tanB=cotA এবং tanA tanB=1। তাই বামপক্ষ=(tanA+tanB)/1=tanA+tanB, যা ডানপক্ষের সমান। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 5: প্রমাণ করো: sin²A + sin²B = 1, যখন A+B=90°।

উত্তর: A+B=90° ⇒ B=90°−A। তাই sinB=cosA। সুতরাং sin²A+sin²B=sin²A+cos²A=1, কারণ sin²A+cos²A=1। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 6: সরল করো: (tan 12° tan 78°) + (sin 41°/cos 49°) + (sec 67°/cosec 23°)।

উত্তর: tan78°=cot12°, তাই tan12°tan78°=1। cos49°=sin41°, তাই sin41°/cos49°=1। cosec23°=sec67°, তাই sec67°/cosec23°=1। সুতরাং মোট মান=3।

প্রশ্ন 7: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: (sin A + cos B)² = 4sin²A।

উত্তর: B=90°−A ⇒ cosB=sinA। তাই বামপক্ষ=(sinA+sinA)²=(2sinA)²=4sin²A। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 8: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: (cos A + sin B)² = 4cos²A।

উত্তর: B=90°−A ⇒ sinB=cosA। তাই বামপক্ষ=(cosA+cosA)²=(2cosA)²=4cos²A। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 9: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: tan A + cot B = 2tan A।

উত্তর: B=90°−A ⇒ cotB=cot(90°−A)=tanA। তাই tanA+cotB=tanA+tanA=2tanA। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 10: যদি A+B=90° হয়, তবে প্রমাণ করো: (sin A cos B)/(cos A sin B)=tan²A।

উত্তর: cosB=sinA এবং sinB=cosA। বামপক্ষ=(sinA×sinA)/(cosA×cosA)=sin²A/cos²A=tan²A। প্রমাণিত।

পরীক্ষার জন্য দ্রুত রিভিশন

• sin-এর পূরক অনুপাত হলো cos; cos-এর পূরক অনুপাত হলো sin।

• tan ও cot পরস্পরের পূরক অনুপাত; sec ও cosec-ও পরস্পরের পূরক অনুপাত।

• কোণদ্বয়ের যোগফল ৯০° হলে A ও B পরস্পরের পূরক কোণ।

• tan A × tan B = 1 এবং sin A = cos B, যখন A+B=90°।

• ভগ্নাংশ সরল করার আগে পূরক কোণের সূত্র প্রয়োগ করে লব ও হর সমান কি না যাচাই করো।

4 নম্বর | প্রশ্ন 1: প্রমাণ করো: যদি A+B=90° হয়, তবে tan A × tan B = 1।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: A+B=90° থেকে B=90°−A।

ধাপ ২: পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী tan(90°−A)=cot A। অতএব tan B=cot A।

ধাপ ৩: সুতরাং tan A×tan B=tan A×cot A।

ধাপ ৪: cot A=1/tan A, তাই tan A×cot A=tan A×(1/tan A)=1।

অতএব tan A×tan B=1। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 2: প্রমাণ করো: sin 25°/cos 65° = 1।

ধাপ ১: পূরক কোণের সূত্র: cos θ=sin(90°−θ)।

ধাপ ২: θ=65° বসালে cos65°=sin25°।

ধাপ ৩: প্রদত্ত রাশি = sin25°/cos65° = sin25°/sin25°।

ধাপ ৪: একই অশূন্য রাশির ভাগফল 1।

অতএব sin25°/cos65°=1। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 3: প্রমাণ করো: sec 38° = cosec 52°।

ধাপ ১: পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী sec θ=cosec(90°−θ)।

ধাপ ২: এখানে θ=38°। তাই sec38°=cosec(90°−38°)।

ধাপ ৩: 90°−38°=52°।

সুতরাং sec38°=cosec52°। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 4: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: sin A/cos B=1।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: B=90°−A।

ধাপ ২: cosB=cos(90°−A)=sinA।

ধাপ ৩: তাই sinA/cosB=sinA/sinA=1 (যেখানে sinA≠0)।

অতএব sinA/cosB=1। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 5: প্রমাণ করো: tan 28°/cot 62°=1।

ধাপ ১: tan θ=cot(90°−θ)।

ধাপ ২: θ=28° হলে tan28°=cot62°।

ধাপ ৩: প্রদত্ত রাশি=tan28°/cot62°=tan28°/tan28°=1।

অতএব প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 6: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: sin A cos A=sin A sin B।

প্রদত্ত: A+B=90° ⇒ B=90°−A।

ধাপ ১: sinB=sin(90°−A)=cosA।

ধাপ ২: ডানপক্ষ sinA sinB=sinA×cosA।

ধাপ ৩: এটি বামপক্ষ sinA cosA-এর সমান।

অতএব sinA cosA=sinA sinB। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 7: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: cos A sin B=cos² A।

প্রদত্ত: A+B=90° ⇒ B=90°−A।

ধাপ ১: sinB=sin(90°−A)=cosA।

ধাপ ২: বামপক্ষ=cosA×sinB=cosA×cosA।

ধাপ ৩: cosA×cosA=cos²A।

অতএব cosA sinB=cos²A। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 8: প্রমাণ করো: tan 20° × tan 70°=1।

ধাপ ১: 20°+70°=90°, তাই কোণ দুটি পরস্পরের পূরক।

ধাপ ২: tan70°=tan(90°−20°)=cot20°।

ধাপ ৩: tan20°×tan70°=tan20°×cot20°।

ধাপ ৪: tanθ×cotθ=1।

সুতরাং tan20°×tan70°=1। প্রমাণিত।

4 নম্বর | প্রশ্ন 9: সরল করো: (sin36°/cos54°)+(tan42°/cot48°)。

প্রথম অংশ: cos54°=sin(90°−54°)=sin36°। তাই sin36°/cos54°=1।

দ্বিতীয় অংশ: cot48°=tan(90°−48°)=tan42°। তাই tan42°/cot48°=1।

সুতরাং সম্পূর্ণ রাশির মান=1+1=2।

4 নম্বর | প্রশ্ন 10: প্রমাণ করো: (sin A+cos B)²=4sin²A, যদি A+B=90° হয়।

প্রদত্ত: A+B=90° ⇒ B=90°−A।

ধাপ ১: cosB=cos(90°−A)=sinA।

ধাপ ২: বামপক্ষ=(sinA+cosB)²।

ধাপ ৩: cosB=sinA বসালে বামপক্ষ=(sinA+sinA)²=(2sinA)²।

ধাপ ৪: (2sinA)²=4sin²A।

অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 1: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: (sin A+cos B)²+(cos A+sin B)²=4।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: cosB=sinA এবং sinB=cosA।

ধাপ ২: প্রথম অংশ (sinA+cosB)²=(sinA+sinA)²=4sin²A।

ধাপ ৩: দ্বিতীয় অংশ (cosA+sinB)²=(cosA+cosA)²=4cos²A।

ধাপ ৪: দুই অংশের যোগফল=4sin²A+4cos²A=4(sin²A+cos²A)।

ধাপ ৫: sin²A+cos²A=1। তাই যোগফল=4×1=4।

অতএব প্রদত্ত সমতা প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 2: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: sin²A+sin²B=1 এবং cos²A+cos²B=1।

প্রদত্ত: A+B=90° ⇒ B=90°−A।

ধাপ ১: sinB=cosA। তাই sin²B=cos²A।

ধাপ ২: sin²A+sin²B=sin²A+cos²A=1।

ধাপ ৩: আবার cosB=sinA, তাই cos²B=sin²A।

ধাপ ৪: cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1।

অতএব দুটি সম্পর্কই প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 3: সরল করো: (tan 12°×tan 78°)+(sin 41°/cos 49°)+(sec 67°/cosec 23°)।

প্রথম অংশ: 12°+78°=90°, তাই tan78°=cot12°। ফলে tan12°×tan78°=tan12°×cot12°=1।

দ্বিতীয় অংশ: cos49°=sin41°। ফলে sin41°/cos49°=1।

তৃতীয় অংশ: sec67°=cosec23°। ফলে sec67°/cosec23°=1।

সুতরাং মোট মান=1+1+1=3।

5 নম্বর | প্রশ্ন 4: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: (sin A/cos B)+(cos A/sin B)=2।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: cosB=sinA এবং sinB=cosA।

ধাপ ২: বামপক্ষ=sinA/cosB+cosA/sinB।

ধাপ ৩: মান বসিয়ে পাই = sinA/sinA+cosA/cosA।

ধাপ ৪: =1+1=2।

অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 5: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: (sin A cos B)/(cos A sin B)=tan²A।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: cosB=sinA এবং sinB=cosA।

ধাপ ২: বামপক্ষ=(sinA×cosB)/(cosA×sinB)।

ধাপ ৩: মান বসিয়ে পাই=(sinA×sinA)/(cosA×cosA)।

ধাপ ৪: =sin²A/cos²A=(sinA/cosA)²।

ধাপ ৫: tanA=sinA/cosA, তাই ফল=tan²A।

অতএব প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 6: প্রমাণ করো: (tan A+tan B)/(tan A×tan B)=tan A+tan B, যখন A+B=90°।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: tanB=tan(90°−A)=cotA।

ধাপ ২: তাই tanA×tanB=tanA×cotA=1।

ধাপ ৩: বামপক্ষ=(tanA+tanB)/1।

ধাপ ৪: =tanA+tanB, যা ডানপক্ষের সমান।

অতএব প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 7: যদি sin A=cos 2A এবং A ও 2A সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে A নির্ণয় করো।

দেওয়া আছে sinA=cos2A।

ধাপ ১: cos2A=sin(90°−2A), কারণ cosθ=sin(90°−θ)।

ধাপ ২: তাই sinA=sin(90°−2A)।

ধাপ ৩: A এবং 90°−2A সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় সমান sine-এর ক্ষেত্রে A=90°−2A।

ধাপ ৪: 3A=90°।

ধাপ ৫: A=90°/3=30°।

উত্তর: A=30°।

5 নম্বর | প্রশ্ন 8: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: tan A+cot B=2tan A এবং cot A+tan B=2cot A।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: B=90°−A।

ধাপ ২: cotB=cot(90°−A)=tanA। তাই tanA+cotB=tanA+tanA=2tanA।

ধাপ ৩: আবার tanB=tan(90°−A)=cotA।

ধাপ ৪: cotA+tanB=cotA+cotA=2cotA।

অতএব উভয় সম্পর্ক প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 9: প্রমাণ করো: (sin A+cos B)/(cos A+sin B)=tan A, যদি A+B=90° হয়।

প্রদত্ত: A+B=90°।

ধাপ ১: cosB=sinA এবং sinB=cosA।

ধাপ ২: লব=sinA+cosB=sinA+sinA=2sinA।

ধাপ ৩: হর=cosA+sinB=cosA+cosA=2cosA।

ধাপ ৪: ভগ্নাংশ=(2sinA)/(2cosA)=sinA/cosA=tanA।

অতএব প্রমাণিত।

5 নম্বর | প্রশ্ন 10: যদি A+B=90° হয়, প্রমাণ করো: (sin A+sin B)²+(cos A+cos B)²=4।

ধাপ ১: A+B=90° ⇒ sinB=cosA এবং cosB=sinA।

ধাপ ২: প্রথম অংশ=(sinA+sinB)²=(sinA+cosA)²।

ধাপ ৩: দ্বিতীয় অংশ=(cosA+cosB)²=(cosA+sinA)²।

ধাপ ৪: যোগফল=2(sinA+cosA)²=2(sin²A+2sinAcosA+cos²A)=2(1+2sinAcosA)।

এই রাশি সাধারণভাবে 4 নয়; তাই প্রশ্নে দেওয়া সমতাটি সর্বদা সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ A=30°, B=60° হলে মান 2(1+√3/2) ≠4। পরীক্ষায় এই ধরনের সমতা প্রমাণের আগে সত্যতা যাচাই করতে হবে।

5 নম্বর | প্রশ্ন 11: প্রমাণ করো: (sin A/cos B)²+(cos A/sin B)²=2, যখন A+B=90°।

ধাপ ১: cosB=sinA এবং sinB=cosA।

ধাপ ২: (sinA/cosB)²=(sinA/sinA)²=1।

ধাপ ৩: (cosA/sinB)²=(cosA/cosA)²=1।

ধাপ ৪: দুই অংশের যোগফল=1+1=2।

অতএব প্রমাণিত।