পরিমিতি (Mensuration)
মাধ্যমিক গণিতের গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। বিভিন্ন ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, আয়তন, প্রয়োজনীয় সূত্র এবং বাস্তব জীবনের গাণিতিক সমস্যার প্রস্তুতি।
পরিমিতি সম্পর্কে সংক্ষিপ্ত আলোচনা
গণিতের যে শাখায় বিভিন্ন জ্যামিতিক আকৃতির দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করা হয়, তাকে পরিমিতি বলে। দৈনন্দিন জীবনে বাড়ি নির্মাণ, জলের ট্যাংক তৈরি, ঘরের মেঝে বাঁধানো, গোলাকার বস্তু তৈরি এবং বিভিন্ন পাত্রের ধারণক্ষমতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে পরিমিতির ব্যবহার দেখা যায়।
মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিতের পরিমিতি অধ্যায়ে বিভিন্ন ঘনবস্তুর গঠন, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় সংক্রান্ত অঙ্ক গুরুত্বপূর্ণ। বিশেষ করে আয়তঘন, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, গোলক ও লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর সূত্রগুলি ভালোভাবে বুঝে অনুশীলন করা প্রয়োজন। এছাড়া একাধিক ঘনবস্তুর সমন্বয়ে গঠিত বাস্তব সমস্যার সমাধান করার দক্ষতাও অর্জন করতে হবে।
পরিমিতি অধ্যায়ে যে বিষয়গুলিতে গুরুত্ব দেবে
প্রতিটি ঘনবস্তুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, আয়তন এবং প্রয়োজনীয় মাত্রার সম্পর্ক বুঝে নাও। অঙ্ক করার সময় সব মাত্রাকে একই এককে প্রকাশ করবে। ক্ষেত্রফলের একক বর্গ একক এবং আয়তনের একক ঘন একক হয়।
আয়তঘন (Cuboid)
যে ঘনবস্তুর ছয়টি তলই আয়তাকার এবং বিপরীত তলগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, তাকে আয়তঘন বলে। আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা থাকে। বই, বাক্স, আলমারি, ঘরের ঘনাকার নয় এমন অংশ এবং জলের ট্যাংক ইত্যাদি আয়তঘনের বাস্তব উদাহরণ।
আয়তঘনের পরিমিতি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার সাহায্যে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করা হয়। কোনো বাক্সের বাইরের অংশে রং করতে কতটা রং প্রয়োজন অথবা একটি ঘরের মেঝে ও দেওয়ালের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে আয়তঘনের ধারণা কাজে লাগে।
লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)
যে ঘনবস্তুর দুটি সমান ও সমান্তরাল বৃত্তাকার তল থাকে এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়কে সংযোগকারী রেখাটি তলদ্বয়ের উপর লম্ব হয়, তাকে লম্ব বৃত্তাকার চোঙ বলে। একটি চোঙের প্রধান মাত্রা হলো ভূমির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা।
জলের পাইপ, পানীয়ের ক্যান, গ্যাস সিলিন্ডারের বাইরের আকৃতি এবং বিভিন্ন ধরনের গোলাকার ট্যাংক লম্ব বৃত্তাকার চোঙের পরিচিত উদাহরণ। এই ঘনবস্তুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করতে হয়। বিশেষ করে কোনো ট্যাংকে কতটা জল ধরবে অথবা একটি চোঙাকার পাত্রের বাইরের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত হবে, তা নির্ণয়ে এই সূত্রগুলি প্রয়োজন।
গোলক (Sphere)
ত্রিমাত্রিক যে ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থান করে, তাকে গোলক বলে। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে গোলকের কেন্দ্র এবং কেন্দ্র থেকে পৃষ্ঠের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে। গোলকের ব্যাস তার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
ফুটবল, মার্বেল, গোলাকার বল এবং পৃথিবীর আদর্শ জ্যামিতিক মডেল গোলকের উদাহরণ। গোলকের ক্ষেত্রে বক্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করা হয়। গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র এবং গোলকের ভিতরে কতটা জায়গা রয়েছে তা নির্ণয়ের সূত্র পরীক্ষার জন্য বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ।
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)
যে ঘনবস্তুর একটি বৃত্তাকার ভূমি এবং একটি নির্দিষ্ট শীর্ষবিন্দু থাকে এবং শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির কেন্দ্র পর্যন্ত রেখাংশটি ভূমির উপর লম্ব হয়, তাকে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু বলে। শঙ্কুর প্রধান মাত্রা হলো ভূমির ব্যাসার্ধ, উচ্চতা এবং তির্যক উচ্চতা।
আইসক্রিমের কন, জন্মদিনের টুপি, ট্রাফিক কন এবং বিভিন্ন শঙ্কু আকৃতির পাত্রের মধ্যে এই আকৃতি দেখা যায়। শঙ্কুর আয়তন, বক্রতলের ক্ষেত্রফল এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে ব্যাসার্ধ, উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতার সম্পর্ক জানা প্রয়োজন।
বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা
দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন পরিস্থিতিতে একাধিক ঘনবস্তুর পরিমিতি নির্ণয়ের প্রয়োজন হয়। যেমন, একটি চোঙের উপরে অর্ধগোলক বসিয়ে কোনো বস্তু তৈরি করা, একটি ঘনবস্তু গলিয়ে অন্য আকৃতির ঘনবস্তু তৈরি করা অথবা বিভিন্ন আকৃতির পাত্রের ধারণক্ষমতা নির্ণয় করা ইত্যাদি।
এই ধরনের অঙ্কে প্রথমে ঘনবস্তুগুলির আকৃতি শনাক্ত করতে হয়। এরপর প্রয়োজনীয় সূত্র প্রয়োগ করে ক্ষেত্রফল বা আয়তন নির্ণয় করতে হয়। কোনো ঘনবস্তু গলিয়ে অন্য ঘনবস্তু তৈরি করলে, অপচয় না থাকলে উভয় ঘনবস্তুর আয়তন সমান হয়। আবার দুটি ঘনবস্তু জুড়ে দিলে তাদের আয়তন যোগ করতে হয়, আর কোনো অংশ কেটে বাদ দিলে বিয়োগ করতে হয়।
তাই এই অংশের অঙ্ক সমাধানের ক্ষেত্রে সূত্র মুখস্থ রাখার পাশাপাশি সমস্যার ভাষা বুঝে সঠিক গাণিতিক পদ্ধতি নির্বাচন করা অত্যন্ত জরুরি।
বাস্তব সমস্যার প্রশ্ন ও উত্তর দেখুনমাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য পরিমিতি প্রস্তুতির টিপস
- প্রতিটি ঘনবস্তুর সূত্র আলাদা করে লিখে অনুশীলন করবে।
- ব্যাস ও ব্যাসার্ধের মধ্যে পার্থক্য মনে রাখবে।
- ক্ষেত্রফল ও আয়তনের একক সঠিকভাবে ব্যবহার করবে।
- π-এর মান প্রশ্ন অনুযায়ী গ্রহণ করবে।
- বাস্তব সমস্যার অঙ্কে কোন ঘনবস্তুর সূত্র লাগবে তা আগে শনাক্ত করবে।
- প্রতিটি অঙ্কে প্রয়োজনীয় হিসাব ও এককসহ উত্তর লিখবে।