ধরি, মূলধন = P টাকা।
৮ বছরে দ্বিগুণ হওয়ায় মোট পরিমাণ = 2P টাকা।
তাই সরল সুদ = 2P − P = P টাকা।

আমরা জানি,
SI = PRT/100
∴ P = P × R × 8 / 100
∴ R = 100/8
∴ R = 12.5%

P = 10,000 টাকা, R = 10%, T = 2 বছর

A = P(1 + R/100)²
= 10,000(1 + 10/100)²
= 10,000 × (1.1)²
= 12,100 টাকা

চক্রবৃদ্ধি সুদ
= A − P
= 12,100 − 10,000
= 2,100 টাকা

A-এর মূলধন × সময়
= 20,000 × 12 = 2,40,000

B-এর মূলধন × সময়
= 30,000 × 8 = 2,40,000

তাই লাভের অনুপাত = 1 : 1
মোট লাভ = 13,000 টাকা
∴ A-এর লাভ = 6,500 টাকা
∴ B-এর লাভ = 6,500 টাকা

3x² − 5x − 2 = 0
= 3x² − 6x + x − 2 = 0
= 3x(x − 2) + 1(x − 2) = 0
= (3x + 1)(x − 2) = 0

∴ 3x + 1 = 0 অথবা x − 2 = 0
∴ x = −1/3 অথবা x = 2

অতএব মূলদ্বয় হল −1/3 এবং 2। মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান।

মূলদ্বয় 3 ও −5।
তাই সমীকরণ হবে
(x − 3)(x + 5) = 0
∴ x² + 5x − 3x − 15 = 0
∴ x² + 2x − 15 = 0

AP-এর n-তম পদ,
aₙ = a + (n−1)d

7ম পদ:
a + 6d = 19 … (1)

13তম পদ:
a + 12d = 37 … (2)

(2) − (1):
6d = 18
∴ d = 3

(1)-এ বসিয়ে,
a + 18 = 19
∴ a = 1

তাই প্রথম পদ = 1, সাধারণ অন্তর = 3।

এখানে,
a = 3
d = 7 − 3 = 4
n = 20

Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
= 20/2 [2×3 + 19×4]
= 10[6 + 76]
= 10 × 82
= 820

y ∝ x
∴ y = kx

x = 4, y = 12
12 = 4k
∴ k = 3

তাই y = 3x
x = 10 হলে,
y = 3 × 10
= 30

x : y = 3 : 5
y : z = 10 : 7

প্রথম অনুপাতে y = 5, দ্বিতীয় অনুপাতে y = 10। তাই প্রথম অনুপাতকে 2 দিয়ে গুণ করি:
x : y = 6 : 10

অতএব,
x : y : z = 6 : 10 : 7

1/(x+2) + 1/(x−2)
= [(x−2) + (x+2)] / [(x+2)(x−2)]
= 2x / (x² − 4)

∴ সরল রূপ = 2x/(x²−4)

tan θ = লম্ব/ভূমি = 5/12
ধরি, লম্ব = 5 এবং ভূমি = 12।
অতিভুজ = √(5² + 12²) = √169 = 13

∴ sin θ = 5/13
∴ cos θ = 12/13
∴ sec θ = 13/12

বামপক্ষ
= (1/cos θ − cos θ) / tan θ
= [(1 − cos²θ)/cos θ] / tan θ
= [sin²θ/cos θ] / [sin θ/cos θ]
= sin²θ/cos θ × cos θ/sin θ
= sin θ

অতএব,
বামপক্ষ = ডানপক্ষ।
প্রমাণিত।

ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা = h মিটার।
দূরত্ব = 20 মিটার।
উন্নতি কোণ = 45°।

tan 45° = h/20
1 = h/20
∴ h = 20 মিটার

টাওয়ারের উচ্চতা = 30 মিটার।
অবনতি কোণ = 30°।
তাই উন্নতি কোণও = 30°।

ধরি, দূরত্ব = x মিটার।
tan 30° = 30/x
1/√3 = 30/x
∴ x = 30√3
∴ দূরত্ব = 30√3 মিটার

ধরা যাক, P বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক PT এবং OP হল ব্যাসার্ধ।

স্পর্শক PT বৃত্তকে শুধু P বিন্দুতে স্পর্শ করে। কেন্দ্র O থেকে P-তে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ OP স্পর্শকের সঙ্গে সমকোণ উৎপন্ন করে।

তাই,
∠OPT = 90°
∴ OP ⟂ PT

অতএব প্রমাণিত যে, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

ধরা যাক, AB একটি জ্যা এবং O কেন্দ্র। OM ⟂ AB।

OA = OB — একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
OM = OM — সাধারণ বাহু।
এবং ∠OMA = ∠OMB = 90°।

তাই RHS সূত্রে,
△OMA ≅ △OMB
∴ AM = MB

অর্থাৎ কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

১. প্রদত্ত তিন বাহুর সাহায্যে প্রথমে ত্রিভুজটি নির্মাণ করি।

২. ত্রিভুজের দুটি বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করি।

৩. লম্বদ্বিখণ্ডক দুটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে O ধরি।

৪. O কেন্দ্র এবং OA ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি।

৫. এই বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে।

∴ প্রাপ্ত বৃত্তটিই ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত।

r = 7 সেমি, h = 10 সেমি।

বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 × 22/7 × 7 × 10
= 440 বর্গ সেমি

আয়তন = πr²h
= 22/7 × 7² × 10
= 1540 ঘন সেমি

r = 6 সেমি।

গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr²
= 4π × 36
= 144π বর্গ সেমি

গোলকের আয়তন
= 4/3 πr³
= 4/3 × π × 216
= 288π ঘন সেমি