ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব

প্রয়োজনীয় ধারণা ও সূত্র

• দৃষ্টিরেখা: পর্যবেক্ষকের চোখ থেকে লক্ষ্যবস্তুর দিকে কল্পিত সরলরেখা।

• উন্নতি কোণ: অনুভূমিক দৃষ্টিরেখার উপরে লক্ষ্যবস্তু থাকলে অনুভূমিক রেখা ও দৃষ্টিরেখার মধ্যবর্তী কোণ।

• অবনতি কোণ: অনুভূমিক দৃষ্টিরেখার নিচে লক্ষ্যবস্তু থাকলে অনুভূমিক রেখা ও দৃষ্টিরেখার মধ্যবর্তী কোণ।

• সমকোণী ত্রিভুজে tan θ = লম্ব/ভূমি; sin θ = লম্ব/অতিভুজ; cos θ = ভূমি/অতিভুজ।

• উচ্চতা = ভূমি × tan θ, যখন ভূমির দূরত্ব ও উন্নতি কোণ জানা থাকে।

• ভূমির দূরত্ব = উচ্চতা/tan θ, যখন উচ্চতা ও উন্নতি কোণ জানা থাকে।

• সমতল ভূমিতে পর্যবেক্ষকের চোখের উচ্চতা উপেক্ষণীয় হলে, বস্তুটির উচ্চতা নির্ণয়ে এই সম্পর্ক সরাসরি ব্যবহার করা যায়।

• চোখ/যন্ত্রের উচ্চতা দেওয়া থাকলে, গণনা থেকে পাওয়া উল্লম্ব উচ্চতার সঙ্গে বা থেকে সেই উচ্চতা যোগ/বিয়োগ করতে হবে।

বিভাগ A: বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)

প্রশ্ন 1: উন্নতি কোণ মাপা হয়—

উত্তর: ক) উল্লম্ব রেখা থেকে; খ) অনুভূমিক দৃষ্টিরেখা থেকে; গ) ভূমি থেকে সরাসরি; ঘ) দৃষ্টিরেখার সমান্তরাল রেখা থেকে
সঠিক উত্তর: খ) অনুভূমিক দৃষ্টিরেখা থেকে

প্রশ্ন 2: অবনতি কোণ তৈরি হয় যখন লক্ষ্যবস্তু থাকে—

উত্তর: ক) অনুভূমিক রেখার উপরে; খ) অনুভূমিক রেখার নিচে; গ) পর্যবেক্ষকের সমতলে; ঘ) উল্লম্ব রেখার উপর
সঠিক উত্তর: খ) অনুভূমিক রেখার নিচে

প্রশ্ন 3: সমকোণী ত্রিভুজে tan θ =—

উত্তর: ক) ভূমি/লম্ব; খ) অতিভুজ/লম্ব; গ) লম্ব/ভূমি; ঘ) ভূমি/অতিভুজ
সঠিক উত্তর: গ) লম্ব/ভূমি

প্রশ্ন 4: কোনো স্তম্ভের উচ্চতা h এবং পাদবিন্দু থেকে দূরত্ব x হলে tan θ =—

উত্তর: ক) x/h; খ) h/x; গ) hx; ঘ) h+x
সঠিক উত্তর: খ) h/x

প্রশ্ন 5: যদি tan θ=1 হয় এবং θ সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে θ—

উত্তর: ক) 30°; খ) 45°; গ) 60°; ঘ) 90°
সঠিক উত্তর: খ) 45°

প্রশ্ন 6: যদি উচ্চতা 10 m এবং দূরত্ব 10 m হয়, উন্নতি কোণ—

উত্তর: ক) 30°; খ) 45°; গ) 60°; ঘ) 90°
সঠিক উত্তর: খ) 45°

প্রশ্ন 7: উন্নতি কোণ 30° এবং ভূমির দূরত্ব 12√3 m হলে উচ্চতা—

উত্তর: ক) 4 m; খ) 6 m; গ) 12 m; ঘ) 36 m
সঠিক উত্তর: গ) 12 m

প্রশ্ন 8: একটি বস্তুর শীর্ষ থেকে ভূমির কোনো বিন্দুর অবনতি কোণ 35° হলে, ঐ বিন্দু থেকে শীর্ষের উন্নতি কোণ—

উত্তর: ক) 35°; খ) 55°; গ) 65°; ঘ) 145°
সঠিক উত্তর: ক) 35°

প্রশ্ন 9: একটি ঘুড়ির সুতো 20 m, ভূমির সঙ্গে কোণ 30° এবং সুতো টানটান হলে উচ্চতা—

উত্তর: ক) 10 m; খ) 10√3 m; গ) 20√3 m; ঘ) 5 m
সঠিক উত্তর: ক) 10 m

প্রশ্ন 10: দুটি স্থানের মধ্যে অনুভূমিক দূরত্ব স্থির রেখে উন্নতি কোণ বাড়লে সাধারণত লক্ষ্যবস্তুর উচ্চতা—

উত্তর: ক) কমে; খ) বাড়ে; গ) শূন্য হয়; ঘ) অপরিবর্তিত
সঠিক উত্তর: খ) বাড়ে

প্রশ্ন 11: tan 60°-এর মান—

উত্তর: ক) 1/√3; খ) 1; গ) √3; ঘ) 2
সঠিক উত্তর: গ) √3

প্রশ্ন 12: tan 30°-এর মান—

উত্তর: ক) √3; খ) 1/√3; গ) 1; ঘ) 0
সঠিক উত্তর: খ) 1/√3

প্রশ্ন 13: যন্ত্রের উচ্চতা 1.5 m এবং যন্ত্র থেকে নির্ণীত শীর্ষ পর্যন্ত উল্লম্ব উচ্চতা 20 m হলে মাটির উপর থেকে মোট উচ্চতা—

উত্তর: ক) 18.5 m; খ) 20 m; গ) 21.5 m; ঘ) 30 m
সঠিক উত্তর: গ) 21.5 m

প্রশ্ন 14: দূরত্ব d ও উন্নতি কোণ θ জানা থাকলে উচ্চতা—

উত্তর: ক) d sin θ; খ) d cos θ; গ) d tan θ; ঘ) d/tan θ
সঠিক উত্তর: গ) d tan θ

প্রশ্ন 15: উচ্চতা h ও উন্নতি কোণ θ জানা থাকলে অনুভূমিক দূরত্ব—

উত্তর: ক) h tan θ; খ) h/tan θ; গ) h sin θ; ঘ) h cos θ
সঠিক উত্তর: খ) h/tan θ

বিভাগ B: সংক্ষিপ্ত প্রশ্নোত্তর

প্রশ্ন 1: উন্নতি কোণ কাকে বলে?

উত্তর: পর্যবেক্ষকের অনুভূমিক দৃষ্টিরেখার উপরে অবস্থিত কোনো বস্তুর দিকে তাকালে অনুভূমিক রেখা ও দৃষ্টিরেখার মধ্যবর্তী কোণকে উন্নতি কোণ বলে।

প্রশ্ন 2: অবনতি কোণ কাকে বলে?

উত্তর: পর্যবেক্ষকের অনুভূমিক দৃষ্টিরেখার নিচে অবস্থিত কোনো বস্তুর দিকে তাকালে অনুভূমিক রেখা ও দৃষ্টিরেখার মধ্যবর্তী কোণকে অবনতি কোণ বলে।

প্রশ্ন 3: উচ্চতা ও দূরত্বের অঙ্কে tan θ কেন বেশি ব্যবহৃত হয়?

উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজে tan θ=লম্ব/ভূমি। উচ্চতা সাধারণত লম্ব এবং অনুভূমিক দূরত্ব ভূমি হওয়ায় এই অনুপাত সরাসরি কাজে লাগে।

প্রশ্ন 4: tan 45°-এর মান কত?

উত্তর: tan45°=1।

প্রশ্ন 5: tan 30° ও tan 60°-এর মান লেখো।

উত্তর: tan30°=1/√3 এবং tan60°=√3।

প্রশ্ন 6: দৃষ্টিরেখা কী?

উত্তর: পর্যবেক্ষকের চোখ থেকে লক্ষ্যবস্তুর দিকে কল্পনা করা সরলরেখাকে দৃষ্টিরেখা বলে।

প্রশ্ন 7: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের মধ্যে সম্পর্ক কী?

উত্তর: সমান্তরাল অনুভূমিক রেখা এবং একই দৃষ্টিরেখার ক্ষেত্রে বিকল্প অন্তঃকোণ হিসেবে উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের মান সমান হতে পারে।

প্রশ্ন 8: যন্ত্রের উচ্চতা কেন যোগ করতে হয়?

উত্তর: যন্ত্র বা পর্যবেক্ষকের চোখ মাটি থেকে কিছুটা উপরে থাকলে ত্রিকোণমিতি দিয়ে পাওয়া উচ্চতা যন্ত্রের স্তর থেকে লক্ষ্যবস্তুর শীর্ষ পর্যন্ত হয়। মাটি থেকে মোট উচ্চতা পেতে যন্ত্রের উচ্চতা যোগ করতে হয়।

প্রশ্ন 9: উচ্চতা h ও দূরত্ব d হলে tan θ-এর সম্পর্ক লেখো।

উত্তর: tan θ=h/d, যেখানে θ হলো ভূমির বিন্দু থেকে শীর্ষের উন্নতি কোণ।

প্রশ্ন 10: দূরত্ব d ও কোণ θ হলে উচ্চতা কীভাবে পাওয়া যায়?

উত্তর: h=d tan θ।

প্রশ্ন 11: উচ্চতা h ও কোণ θ হলে দূরত্ব কীভাবে পাওয়া যায়?

উত্তর: d=h/tan θ।

প্রশ্ন 12: অঙ্কে চিত্র আঁকা কেন জরুরি?

উত্তর: চিত্রে উচ্চতা, ভূমির দূরত্ব, সমকোণ এবং উন্নতি/অবনতি কোণ চিহ্নিত করলে সঠিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বেছে নেওয়া সহজ হয়।

প্রশ্ন 13: একটি উল্লম্ব স্তম্ভের পাদবিন্দু ও পর্যবেক্ষক একই সমতলে থাকলে কোন ত্রিভুজ গঠিত হয়?

উত্তর: স্তম্ভ, ভূমির দূরত্ব এবং দৃষ্টিরেখা মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়।

প্রশ্ন 14: কোন পরিস্থিতিতে উচ্চতা থেকে পর্যবেক্ষকের চোখের উচ্চতা বিয়োগ করতে হয়?

উত্তর: যদি ত্রিকোণমিতি দিয়ে পাওয়া মান মাটি থেকে নয়, পর্যবেক্ষকের চোখ/যন্ত্রের স্তর থেকে শীর্ষ পর্যন্ত উল্লম্ব ব্যবধান হয়, তবে মাটি থেকে লক্ষ্যবস্তুর উচ্চতা পেতে চোখের উচ্চতা যোগ করতে হয়; উল্টোভাবে মোট উচ্চতা থেকে চোখের উচ্চতা বাদ দিলে স্তরের ব্যবধান পাওয়া যায়।

প্রশ্ন 15: ঘুড়ির সুতো অতিভুজ হলে কোন অনুপাত দিয়ে উচ্চতা পাওয়া যায়?

উত্তর: সুতো L এবং ভূমির সঙ্গে কোণ θ হলে উচ্চতা=L sin θ।

বিভাগ C: ৩ নম্বরের প্রশ্নোত্তর

প্রশ্ন 1: একটি গাছের পাদবিন্দু থেকে 12 m দূরে একটি বিন্দুতে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, গাছের উচ্চতা h m।
tan45°=h/12।
1=h/12 ⇒ h=12 m।
উত্তর: গাছের উচ্চতা 12 m।

প্রশ্ন 2: একটি স্তম্ভের পাদবিন্দু থেকে 10√3 m দূরে উন্নতি কোণ 30°। স্তম্ভের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, উচ্চতা h m।
tan30°=h/(10√3)।
1/√3=h/(10√3) ⇒ h=10 m।
উত্তর: 10 m।

প্রশ্ন 3: একটি টাওয়ারের উচ্চতা 20 m। পাদবিন্দু থেকে পর্যবেক্ষকের দূরত্ব 20 m হলে উন্নতি কোণ নির্ণয় করো।

সমাধান: tanθ=20/20=1।
যেহেতু tan45°=1, তাই θ=45°।
উত্তর: উন্নতি কোণ 45°।

প্রশ্ন 4: একটি ঘুড়ির সুতো 30 m এবং ভূমির সঙ্গে কোণ 30°। সুতো টানটান থাকলে ঘুড়ির উল্লম্ব উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি উচ্চতা h। sin30°=h/30।
1/2=h/30 ⇒ h=15 m।
উত্তর: 15 m।

প্রশ্ন 5: একটি ভবনের ছাদ থেকে ভূমির একটি বিন্দুর অবনতি কোণ 60° এবং অনুভূমিক দূরত্ব 8 m। ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: অবনতি কোণ ও সংশ্লিষ্ট উন্নতি কোণ সমান, তাই θ=60°।
tan60°=h/8 ⇒ √3=h/8 ⇒ h=8√3 m।
উত্তর: 8√3 m।

প্রশ্ন 6: একটি খুঁটির উচ্চতা 15 m এবং উন্নতি কোণ 30°। খুঁটির পাদবিন্দু থেকে পর্যবেক্ষকের দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: tan30°=15/d।
1/√3=15/d ⇒ d=15√3 m।
উত্তর: 15√3 m।

প্রশ্ন 7: একটি পর্যবেক্ষকের চোখ ভূমি থেকে 1.5 m উঁচু। সে একটি ভবনের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° দেখে এবং ভবন থেকে অনুভূমিক দূরত্ব 18 m। ভবনের মোট উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: চোখের স্তর থেকে শীর্ষের উচ্চতার পার্থক্য h=18 tan45°=18 m।
ভবনের মোট উচ্চতা=18+1.5=19.5 m।
উত্তর: 19.5 m।

প্রশ্ন 8: একটি পাহাড়ের চূড়ার উন্নতি কোণ 30° এবং পর্যবেক্ষক থেকে পাহাড়ের পাদবিন্দুর অনুভূমিক দূরত্ব 100√3 m। পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করো (চোখের উচ্চতা উপেক্ষা করো)।

সমাধান: tan30°=h/(100√3)।
1/√3=h/(100√3) ⇒ h=100 m।
উত্তর: 100 m।

প্রশ্ন 9: একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60°। গাছ থেকে 10 m দূরে দাঁড়ালে উচ্চতা কত? (চোখের উচ্চতা উপেক্ষা করো।)

সমাধান: tan60°=h/10।
√3=h/10 ⇒ h=10√3 m।
উত্তর: 10√3 m।

প্রশ্ন 10: একটি টাওয়ারের উচ্চতা 30 m এবং উন্নতি কোণ 30° হলে টাওয়ার থেকে পর্যবেক্ষকের দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: tan30°=30/d।
1/√3=30/d ⇒ d=30√3 m।
উত্তর: 30√3 m।

বিভাগ D: ৪ নম্বরের বিস্তারিত সমাধান

প্রশ্ন 1: একটি টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 30 m দূরে একটি বিন্দুতে শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা h m।
চিত্র অনুযায়ী tan30°=লম্ব/ভূমি=h/30।
আমরা জানি tan30°=1/√3।
তাই h/30=1/√3 ⇒ h=30/√3=10√3 m।
উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা 10√3 m।

প্রশ্ন 2: একটি ভবনের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° এবং পর্যবেক্ষক ভবন থেকে 15 m দূরে। ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি ভবনের উচ্চতা h m।
tan60°=h/15।
√3=h/15 ⇒ h=15√3 m।
অতএব ভবনের উচ্চতা 15√3 m।

প্রশ্ন 3: একটি 20 m উঁচু টাওয়ারের শীর্ষ থেকে ভূমির একটি বিন্দুর অবনতি কোণ 45°। টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি অনুভূমিক দূরত্ব d m। অবনতি কোণ 45° হওয়ায় উন্নতি কোণও 45°।
tan45°=20/d।
1=20/d ⇒ d=20 m।
উত্তর: দূরত্ব 20 m।

প্রশ্ন 4: একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হয় যখন পর্যবেক্ষক গাছের দিকে 20 m এগিয়ে যায়। গাছের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, প্রথম অবস্থায় গাছ থেকে দূরত্ব x m এবং উচ্চতা h m।
tan30°=h/x ⇒ h=x/√3।
এগিয়ে যাওয়ার পর দূরত্ব x−20, তাই tan60°=h/(x−20) ⇒ h=√3(x−20)।
দুই h সমান: x/√3=√3(x−20) ⇒ x=3x−60 ⇒ 2x=60 ⇒ x=30।
তাই h=30/√3=10√3 m। উত্তর: 10√3 m।

প্রশ্ন 5: একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। পর্যবেক্ষক টাওয়ারের দিকে 40 m এগোলে কোণ 60° হয়। টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি প্রথম দূরত্ব x m ও উচ্চতা h m।
tan30°=h/x ⇒ h=x/√3।
দ্বিতীয় অবস্থায় দূরত্ব x−40; tan60°=h/(x−40) ⇒ h=√3(x−40)।
সমীকরণ: x/√3=√3(x−40) ⇒ x=3x−120 ⇒ 2x=120 ⇒ x=60।
h=60/√3=20√3 m। উত্তর: 20√3 m।

প্রশ্ন 6: একটি ঘুড়ির সুতো 50 m এবং ভূমির সঙ্গে কোণ 30°। ঘুড়ির উচ্চতা নির্ণয় করো। সুতোটি ভূমির সমান্তরাল নয় এবং টানটান।

সমাধান: ধরি ঘুড়ির উল্লম্ব উচ্চতা h। এখানে সুতো অতিভুজ এবং উচ্চতা কোণের বিপরীত বাহু।
sin30°=h/50।
1/2=h/50 ⇒ h=25 m।
উত্তর: ঘুড়ির উচ্চতা 25 m।

প্রশ্ন 7: একটি পর্যবেক্ষকের চোখ মাটি থেকে 1.6 m উঁচু। একটি ভবনের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° এবং ভবন থেকে অনুভূমিক দূরত্ব 25 m। ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, চোখের স্তর থেকে ভবনের শীর্ষ পর্যন্ত উচ্চতার পার্থক্য h।
tan45°=h/25 ⇒ h=25 m।
ভবনের মোট উচ্চতা=25+1.6=26.6 m।
উত্তর: 26.6 m।

প্রশ্ন 8: একটি স্তম্ভের উচ্চতা 12 m। তার শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে পর্যবেক্ষক থেকে স্তম্ভের পাদবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি দূরত্ব d m।
tan30°=12/d।
1/√3=12/d ⇒ d=12√3 m।
উত্তর: 12√3 m।

প্রশ্ন 9: একটি পাহাড়ের চূড়ার উন্নতি কোণ 30°। পাহাড়ের দিকে 50 m এগিয়ে গেলে কোণ 45° হয়। পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি প্রথম দূরত্ব x m এবং উচ্চতা h m।
tan30°=h/x ⇒ h=x/√3।
দ্বিতীয় অবস্থায় দূরত্ব x−50, tan45°=h/(x−50) ⇒ h=x−50।
তাই x/√3=x−50 ⇒ x=√3(x−50) ⇒ x(√3−1)=50√3 ⇒ x=50√3/(√3−1)=25(3+√3)।
h=x−50=25(1+√3) m।
উত্তর: 25(1+√3) m।

প্রশ্ন 10: একটি ভবনের উচ্চতা 24 m এবং পর্যবেক্ষকের চোখের উচ্চতা 1.5 m। ভবনের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° হলে ভবন থেকে পর্যবেক্ষকের অনুভূমিক দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: চোখের স্তর থেকে শীর্ষ পর্যন্ত উচ্চতার পার্থক্য=24−1.5=22.5 m।
ধরি অনুভূমিক দূরত্ব d m।
tan45°=22.5/d ⇒ 1=22.5/d ⇒ d=22.5 m।
উত্তর: 22.5 m।

বিভাগ E: ৫ নম্বরের দীর্ঘ ও ধাপে ধাপে সমাধান

প্রশ্ন 1: একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। পর্যবেক্ষক টাওয়ারের দিকে 20 m এগিয়ে গেলে উন্নতি কোণ 60° হয়। টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, প্রথম অবস্থায় টাওয়ার থেকে পর্যবেক্ষকের দূরত্ব x m এবং টাওয়ারের উচ্চতা h m।
প্রথম অবস্থায় tan30°=h/x ⇒ 1/√3=h/x ⇒ h=x/√3 …(১)
২০ m এগিয়ে যাওয়ার পর দূরত্ব=(x−20) m। তখন tan60°=h/(x−20) ⇒ √3=h/(x−20) ⇒ h=√3(x−20) …(২)
(১) ও (২) থেকে x/√3=√3(x−20)।
উভয় পাশে √3 দিয়ে গুণ করলে x=3(x−20)=3x−60।
তাই 2x=60 ⇒ x=30 m।
এখন h=x/√3=30/√3=10√3 m।
উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা 10√3 m।

প্রশ্ন 2: একটি নদীর এক পারে একটি গাছ আছে। অপর পারে এমন একটি বিন্দু থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। গাছের পাদবিন্দুর দিকে 20 m এগিয়ে গেলে কোণ 60° হয়। গাছের উচ্চতা ও প্রথম বিন্দু থেকে পাদবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, প্রথম বিন্দু থেকে গাছের পাদবিন্দুর দূরত্ব x m এবং গাছের উচ্চতা h m।
প্রথম অবস্থায় tan30°=h/x ⇒ h=x/√3 …(১)
২০ m এগিয়ে গেলে দূরত্ব x−20। তখন tan60°=h/(x−20) ⇒ h=√3(x−20) …(২)
(১) ও (২) সমান করে পাই x/√3=√3(x−20)।
অতএব x=3x−60 ⇒ 2x=60 ⇒ x=30 m।
তাই h=30/√3=10√3 m।
উত্তর: প্রথম দূরত্ব 30 m এবং গাছের উচ্চতা 10√3 m।

প্রশ্ন 3: একটি ভবনের শীর্ষ থেকে ভূমিতে অবস্থিত দুটি বিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও 60°। বিন্দু দুটি ভবনের একই সরলরেখায় একই পাশে অবস্থিত এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 40 m। ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, ভবনের উচ্চতা h m। ভবনের কাছের বিন্দুর দূরত্ব x m, দূরের বিন্দুর দূরত্ব x+40 m।
কাছের বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°; তাই tan60°=h/x ⇒ h=√3x …(১)
দূরের বিন্দুর উন্নতি কোণ 30°; তাই tan30°=h/(x+40) ⇒ h=(x+40)/√3 …(২)
(১) ও (২) থেকে √3x=(x+40)/√3।
উভয় পাশে √3 দিয়ে গুণ করলে 3x=x+40 ⇒ 2x=40 ⇒ x=20 m।
তাই h=√3×20=20√3 m।
উত্তর: ভবনের উচ্চতা 20√3 m।

প্রশ্ন 4: একটি 1.5 m উঁচু যন্ত্র দিয়ে একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° মাপা হলো। টাওয়ার থেকে পর্যবেক্ষকের অনুভূমিক দূরত্ব 30√3 m হলে টাওয়ারের মোট উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, যন্ত্রের স্তর থেকে টাওয়ারের শীর্ষ পর্যন্ত উচ্চতার পার্থক্য h m।
এখানে tan30°=h/(30√3)।
1/√3=h/(30√3) ⇒ h=30 m।
যন্ত্রের উচ্চতা ভূমি থেকে 1.5 m। তাই টাওয়ারের মোট উচ্চতা=30+1.5=31.5 m।
উত্তর: 31.5 m।

প্রশ্ন 5: একটি বেলুনের উন্নতি কোণ 60°। ভূমিতে একই সরলরেখায় 40 m দূরে থাকা দ্বিতীয় বিন্দু থেকে উন্নতি কোণ 30°। দুই বিন্দুর মধ্যে বেলুনের ঠিক নিচের বিন্দুটি অবস্থিত; বেলুনের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, বেলুনের ঠিক নিচের বিন্দু থেকে প্রথম বিন্দুর দূরত্ব x m এবং দ্বিতীয় বিন্দুর দূরত্ব (40−x) m। উচ্চতা h m।
প্রথম বিন্দুতে tan60°=h/x ⇒ h=√3x …(১)
দ্বিতীয় বিন্দুতে tan30°=h/(40−x) ⇒ h=(40−x)/√3 …(২)
(১) ও (২) থেকে √3x=(40−x)/√3 ⇒ 3x=40−x ⇒ 4x=40 ⇒ x=10 m।
তাই h=√3×10=10√3 m।
উত্তর: বেলুনের উচ্চতা 10√3 m।

প্রশ্ন 6: একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। পর্যবেক্ষক 30 m পিছিয়ে গেলে কোণ 30° হয়। টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি প্রথম অবস্থায় টাওয়ার থেকে দূরত্ব x m এবং উচ্চতা h m।
প্রথম অবস্থায় tan45°=h/x ⇒ h=x …(১)
৩০ m পিছিয়ে গেলে দূরত্ব x+30। তখন tan30°=h/(x+30) ⇒ h=(x+30)/√3 …(২)
(১), (২) থেকে x=(x+30)/√3।
√3x=x+30 ⇒ x(√3−1)=30 ⇒ x=30/(√3−1)।
হর নিরসন করে x=15(√3+1) m। যেহেতু h=x, তাই উচ্চতা 15(√3+1) m।
উত্তর: 15(√3+1) m।

প্রশ্ন 7: একটি গাছের উচ্চতা 18 m। গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে পর্যবেক্ষকের অবস্থান থেকে গাছের পাদবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো। পরে পর্যবেক্ষক 10 m এগিয়ে গেলে নতুন উন্নতি কোণ কত হবে তা নির্ণয় করো।

সমাধান: প্রথমে দূরত্ব d ধরি। tan30°=18/d ⇒ 1/√3=18/d ⇒ d=18√3 m।
১০ m এগিয়ে গেলে নতুন দূরত্ব=18√3−10 m।
নতুন কোণ θ হলে tanθ=18/(18√3−10)।
অতএব θ=tan⁻¹[18/(18√3−10)]।
এটি প্রয়োজনমতো ক্যালকুলেটরে আনুমানিক নির্ণয় করা যায়; গুরুত্বপূর্ণ সঠিক ফল হলো প্রথম দূরত্ব 18√3 m এবং নতুন কোণের tangent 18/(18√3−10)।

প্রশ্ন 8: একটি 20 m উঁচু ভবনের ছাদ থেকে একটি গাড়ির অবনতি কোণ 30°। কিছুক্ষণ পরে একই সরল পথে গাড়িটি ভবনের দিকে এলে অবনতি কোণ 60° হয়। গাড়িটি কত দূর এগিয়েছে? (ভূমি সমতল এবং পর্যবেক্ষকের চোখ ছাদের স্তরে ধরা হবে।)

সমাধান: প্রথম অবস্থায় গাড়ির দূরত্ব x m। অবনতি কোণ 30° ⇒ উন্নতি কোণ 30°।
tan30°=20/x ⇒ x=20√3 m।
দ্বিতীয় অবস্থায় দূরত্ব y m। tan60°=20/y ⇒ y=20/√3 m।
গাড়ি এগিয়েছে x−y=20√3−20/√3।
=20(3−1)/√3=40/√3=40√3/3 m।
উত্তর: গাড়িটি 40√3/3 m এগিয়েছে।

প্রশ্ন 9: একটি টাওয়ারের শীর্ষ থেকে ভূমির একই পাশে অবস্থিত দুটি বিন্দুর অবনতি কোণ 45° ও 30°। বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 25 m। টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি টাওয়ারের উচ্চতা h m। 45° কোণের বিন্দুটি কাছের বিন্দু, দূরত্ব h m কারণ tan45°=h/d ⇒ d=h।
30° কোণের দূরের বিন্দুর দূরত্ব D হলে tan30°=h/D ⇒ D=√3h।
দুই বিন্দুর দূরত্ব D−h=25 ⇒ √3h−h=25।
h(√3−1)=25 ⇒ h=25/(√3−1)=25(√3+1)/2 m।
উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা 25(√3+1)/2 m।

প্রশ্ন 10: একটি পাহাড়ের চূড়ার উন্নতি কোণ 30°। পর্যবেক্ষক পাহাড়ের দিকে 60 m এগিয়ে গেলে কোণ 45° হয়। পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, প্রথম অবস্থায় পাহাড়ের পাদবিন্দু থেকে দূরত্ব x m এবং উচ্চতা h m।
tan30°=h/x ⇒ h=x/√3 …(১)
৬০ m এগিয়ে গেলে দূরত্ব x−60। tan45°=h/(x−60) ⇒ h=x−60 …(২)
(১) ও (২) থেকে x/√3=x−60।
x=√3x−60√3 ⇒ x(√3−1)=60√3।
x=60√3/(√3−1)=30√3(√3+1)=90+30√3 m।
তাই h=x−60=30+30√3=30(1+√3) m।
উত্তর: পাহাড়ের উচ্চতা 30(1+√3) m।

পরীক্ষার আগে মনে রাখবে

• চিত্র আঁকবে এবং সমকোণ চিহ্নিত করবে।

• উচ্চতা সাধারণত লম্ব, অনুভূমিক দূরত্ব ভূমি এবং দৃষ্টিরেখা অতিভুজ।

• উন্নতি বা অবনতি কোণ কোন রেখা থেকে মাপা হচ্ছে, তা স্পষ্ট করবে।

• tanθ = উচ্চতা/অনুভূমিক দূরত্ব ব্যবহার করার আগে একক একই আছে কি না দেখবে।

• চোখ বা যন্ত্রের উচ্চতা দেওয়া থাকলে শেষে যথাযথ যোগ বা বিয়োগ করবে।

• একাধিক অবস্থানের অঙ্কে প্রতিটি অবস্থার জন্য আলাদা সমীকরণ তৈরি করে পরে সমাধান করবে।

WB SUGGESTION | মাধ্যমিক গণিত প্রস্তুতি