ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
মূল সূত্র ও ধারণা
• সমকোণী ত্রিভুজে, নির্দিষ্ট সূক্ষ্মকোণ θ-এর জন্য sin θ = লম্ব/অতিভুজ; cos θ = ভূমি/অতিভুজ; tan θ = লম্ব/ভূমি।
• cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ।
• tan θ = sin θ/cos θ; cot θ = cos θ/sin θ।
• sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ।
• পরিপূরক কোণ: sin(90°−θ)=cos θ; cos(90°−θ)=sin θ; tan(90°−θ)=cot θ।
• বিশেষ কোণ: sin 30°=1/2, cos 60°=1/2, tan 45°=1; sin 90°=1, cos 0°=1।
বিভাগ–A: বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (৫০টি)
1. sin θ-এর সংজ্ঞা কোনটি?
ক. ভূমি/অতিভুজ খ. অতিভুজ/লম্ব গ. লম্ব/ভূমি ঘ. লম্ব/অতিভুজ
উত্তর: ঘ. লম্ব/অতিভুজ
2. cos θ-এর সংজ্ঞা—
ক. লম্ব/ভূমি খ. ভূমি/অতিভুজ গ. লম্ব/অতিভুজ ঘ. অতিভুজ/ভূমি
উত্তর: খ. ভূমি/অতিভুজ
3. tan θ-এর সংজ্ঞা—
ক. ভূমি/অতিভুজ খ. অতিভুজ/লম্ব গ. ভূমি/লম্ব ঘ. লম্ব/ভূমি
উত্তর: ঘ. লম্ব/ভূমি
4. cosec θ সমান—
ক. 1/sin θ খ. sin θ গ. 1/cos θ ঘ. 1/tan θ
উত্তর: ক. 1/sin θ
5. sec θ সমান—
ক. 1/cot θ খ. 1/cos θ গ. cos θ ঘ. 1/sin θ
উত্তর: খ. 1/cos θ
6. cot θ সমান—
ক. tan θ খ. 1/tan θ গ. 1/sec θ ঘ. 1/sin θ
উত্তর: খ. 1/tan θ
7. sin²θ+cos²θ =
ক. 1 খ. 2 গ. 0 ঘ. tan θ
উত্তর: ক. 1
8. 1+tan²θ =
ক. cosec²θ খ. sec²θ গ. cot²θ ঘ. sin²θ
উত্তর: খ. sec²θ
9. 1+cot²θ =
ক. tan²θ খ. cosec²θ গ. sec²θ ঘ. cos²θ
উত্তর: খ. cosec²θ
10. tan θ =
ক. sin θ×cos θ খ. cos θ/sin θ গ. 1/sin θ ঘ. sin θ/cos θ
উত্তর: ঘ. sin θ/cos θ
11. sin 30° =
ক. 1 খ. √3/2 গ. 0 ঘ. 1/2
উত্তর: ঘ. 1/2
12. cos 60° =
ক. 0 খ. 1/2 গ. 1 ঘ. √3/2
উত্তর: খ. 1/2
13. tan 45° =
ক. √3 খ. 1 গ. 0 ঘ. 1/√3
উত্তর: খ. 1
14. sin 90° =
ক. 0 খ. √3/2 গ. 1/2 ঘ. 1
উত্তর: ঘ. 1
15. cos 0° =
ক. 1 খ. −1 গ. 0 ঘ. 1/2
উত্তর: ক. 1
16. tan 0° =
ক. √3 খ. অসংজ্ঞায়িত গ. 0 ঘ. 1
উত্তর: গ. 0
17. cos 90° =
ক. 1/2 খ. 1 গ. অসংজ্ঞায়িত ঘ. 0
উত্তর: ঘ. 0
18. sin 0° =
ক. 1 খ. 1/2 গ. √3/2 ঘ. 0
উত্তর: ঘ. 0
19. sin(90°−θ) =
ক. cos θ খ. cosec θ গ. tan θ ঘ. sin θ
উত্তর: ক. cos θ
20. cos(90°−θ) =
ক. sin θ খ. cot θ গ. sec θ ঘ. cos θ
উত্তর: ক. sin θ
21. tan(90°−θ) =
ক. tan θ খ. sec θ গ. sin θ ঘ. cot θ
উত্তর: ঘ. cot θ
22. cot(90°−θ) =
ক. cosec θ খ. tan θ গ. cot θ ঘ. cos θ
উত্তর: খ. tan θ
23. যদি sin θ=3/5, cos θ (θ সূক্ষ্মকোণ) =
ক. 3/4 খ. 2/5 গ. 4/5 ঘ. 5/4
উত্তর: গ. 4/5
24. যদি cos θ=12/13, sin θ (θ সূক্ষ্মকোণ) =
ক. 5/13 খ. 13/5 গ. 12/5 ঘ. 1/13
উত্তর: ক. 5/13
25. যদি tan θ=3/4, sin θ =
ক. 3/4 খ. 4/5 গ. 5/3 ঘ. 3/5
উত্তর: ঘ. 3/5
26. যদি tan θ=3/4, cos θ =
ক. 5/4 খ. 3/4 গ. 4/5 ঘ. 3/5
উত্তর: গ. 4/5
27. sin θ/cos θ =
ক. cot θ খ. sec θ গ. cosec θ ঘ. tan θ
উত্তর: ঘ. tan θ
28. cos θ/sin θ =
ক. sin θ খ. cot θ গ. sec θ ঘ. tan θ
উত্তর: খ. cot θ
29. sec θ×cos θ =
ক. cos²θ খ. sec²θ গ. 1 ঘ. 0
উত্তর: গ. 1
30. cosec θ×sin θ =
ক. 0 খ. sin²θ গ. cosec²θ ঘ. 1
উত্তর: ঘ. 1
31. tan θ×cot θ =
ক. tan²θ খ. cot²θ গ. 0 ঘ. 1 (যেখানে সংজ্ঞায়িত)
উত্তর: ঘ. 1 (যেখানে সংজ্ঞায়িত)
32. sin²30°+cos²30° =
ক. 2 খ. 1 গ. 1/2 ঘ. 0
উত্তর: খ. 1
33. tan 30° =
ক. √3 খ. 1/√3 গ. 0 ঘ. 1
উত্তর: খ. 1/√3
34. tan 60° =
ক. 1/√3 খ. √3 গ. 0 ঘ. 1
উত্তর: খ. √3
35. sin 45° =
ক. 1/√2 খ. 1 গ. √3/2 ঘ. 1/2
উত্তর: ক. 1/√2
36. cos 45° =
ক. 1/√2 খ. 1/2 গ. √3/2 ঘ. 1
উত্তর: ক. 1/√2
37. sec 60° =
ক. √3 খ. 1/2 গ. 1 ঘ. 2
উত্তর: ঘ. 2
38. cosec 30° =
ক. √3 খ. 1/2 গ. 2 ঘ. 1
উত্তর: গ. 2
39. cot 45° =
ক. 1/√3 খ. 1 গ. √3 ঘ. 0
উত্তর: খ. 1
40. যদি sin θ=1, θ সূক্ষ্ম/সমকোণ সীমায় =
ক. 30° খ. 45° গ. 90° ঘ. 0°
উত্তর: গ. 90°
41. যদি cos θ=0, 0°–90°-এ θ =
ক. 30° খ. 90° গ. 60° ঘ. 0°
উত্তর: খ. 90°
42. sin θ-এর মান সর্বদা—
ক. −1 থেকে 1-এর মধ্যে খ. 1-এর বেশি গ. 0 থেকে অসীম ঘ. −∞ থেকে ∞
উত্তর: ক. −1 থেকে 1-এর মধ্যে
43. cos θ-এর মান সর্বদা—
ক. −1 থেকে 1-এর মধ্যে খ. 0 থেকে অসীম গ. 1-এর বেশি ঘ. শুধু ধনাত্মক
উত্তর: ক. −1 থেকে 1-এর মধ্যে
44. tan θ = sin θ/cos θ; cos θ=0 হলে—
ক. tan θ=0 খ. tan θ=1 গ. tan θ অসংজ্ঞায়িত ঘ. tan θ=cos θ
উত্তর: গ. tan θ অসংজ্ঞায়িত
45. sin²θ =
ক. cos²θ−1 খ. 1−cos²θ গ. tan²θ ঘ. 1+cos²θ
উত্তর: খ. 1−cos²θ
46. cos²θ =
ক. 1−sin²θ খ. sin²θ−1 গ. sec²θ ঘ. 1+sin²θ
উত্তর: ক. 1−sin²θ
47. sec²θ−tan²θ =
ক. cosec²θ খ. 0 গ. 1 ঘ. −1
উত্তর: গ. 1
48. cosec²θ−cot²θ =
ক. sec²θ খ. 0 গ. 1 ঘ. −1
উত্তর: গ. 1
49. sin θ·cosec θ =
ক. 1 খ. sin²θ গ. 0 ঘ. cosec²θ
উত্তর: ক. 1
50. cos θ·sec θ =
ক. cos²θ খ. sec²θ গ. 1 ঘ. 0
উত্তর: গ. 1
51. tan θ+cot θ-এর একক সরলীকরণে সাধারণ হর—
ক. sin²θ+cos²θ খ. sin θ cos θ গ. tan θ cot θ ঘ. sec θ
উত্তর: খ. sin θ cos θ
52. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সাধারণত কোন ত্রিভুজে সংজ্ঞায়িত করা হয়?
ক. শুধু সমবাহু ত্রিভুজে খ. সমকোণী ত্রিভুজে নির্দিষ্ট সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে গ. কোনো ত্রিভুজে নয় ঘ. শুধু স্থূলকোণী ত্রিভুজে
উত্তর: খ. সমকোণী ত্রিভুজে নির্দিষ্ট সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে
বিভাগ–B: অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নোত্তর (৫০টি)
1. sin θ কী?
উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজে θ কোণের বিপরীত লম্ব ও অতিভুজের অনুপাতকে sin θ বলে।
2. cos θ কী?
উত্তর: θ কোণের সন্নিহিত ভূমি ও অতিভুজের অনুপাত cos θ।
3. tan θ কী?
উত্তর: θ কোণের বিপরীত লম্ব ও সন্নিহিত ভূমির অনুপাত tan θ।
4. cosec θ কী?
উত্তর: cosec θ হলো sin θ-এর ব্যস্ত অনুপাত; cosec θ=1/sin θ।
5. sec θ কী?
উত্তর: sec θ হলো cos θ-এর ব্যস্ত অনুপাত; sec θ=1/cos θ।
6. cot θ কী?
উত্তর: cot θ হলো tan θ-এর ব্যস্ত অনুপাত; cot θ=1/tan θ।
7. প্রধান তিনটি ত্রিকোণমিতিক অভেদ লেখো।
উত্তর: sin²θ+cos²θ=1; 1+tan²θ=sec²θ; 1+cot²θ=cosec²θ।
8. tan θ-কে sin ও cos দিয়ে প্রকাশ করো।
উত্তর: tan θ=sin θ/cos θ, যেখানে cos θ≠0।
9. cot θ-কে sin ও cos দিয়ে প্রকাশ করো।
উত্তর: cot θ=cos θ/sin θ, যেখানে sin θ≠0।
10. sin 30° ও cos 60°-এর মান লেখো।
উত্তর: sin 30°=1/2 এবং cos 60°=1/2।
11. tan 45° ও cot 45°-এর মান লেখো।
উত্তর: tan 45°=1 এবং cot 45°=1।
12. sin 45° ও cos 45°-এর মান লেখো।
উত্তর: উভয়ের মান 1/√2 বা √2/2।
13. tan 30° ও tan 60°-এর মান লেখো।
উত্তর: tan 30°=1/√3 এবং tan 60°=√3।
14. sec 60° ও cosec 30°-এর মান লেখো।
উত্তর: sec 60°=2 এবং cosec 30°=2।
15. sin(90°−θ)-এর মান কী?
উত্তর: sin(90°−θ)=cos θ।
16. cos(90°−θ)-এর মান কী?
উত্তর: cos(90°−θ)=sin θ।
17. tan(90°−θ)-এর মান কী?
উত্তর: tan(90°−θ)=cot θ।
18. cot(90°−θ)-এর মান কী?
উত্তর: cot(90°−θ)=tan θ।
19. sec²θ−tan²θ কত?
উত্তর: অভেদ 1+tan²θ=sec²θ থেকে sec²θ−tan²θ=1।
20. cosec²θ−cot²θ কত?
উত্তর: অভেদ 1+cot²θ=cosec²θ থেকে মান 1।
21. sin θ=3/5 হলে cos θ নির্ণয় করো (θ সূক্ষ্মকোণ)।
উত্তর: cos²θ=1−sin²θ=1−9/25=16/25; তাই cos θ=4/5।
22. cos θ=5/13 হলে sin θ নির্ণয় করো (θ সূক্ষ্মকোণ)।
উত্তর: sin²θ=1−25/169=144/169; তাই sin θ=12/13।
23. tan θ=3/4 হলে sin θ নির্ণয় করো।
উত্তর: লম্ব:ভূমি=3:4; অতিভুজ=5 অনুপাত। তাই sin θ=3/5।
24. tan θ=5/12 হলে cos θ নির্ণয় করো।
উত্তর: লম্ব:ভূমি=5:12; অতিভুজ=13। তাই cos θ=12/13।
25. sin θ=8/17 হলে tan θ নির্ণয় করো।
উত্তর: cos θ=15/17; tan θ=(8/17)/(15/17)=8/15।
26. cos θ=12/13 হলে tan θ নির্ণয় করো।
উত্তর: sin θ=5/13; tan θ=5/12।
27. sec θ=13/12 হলে cos θ কত?
উত্তর: cos θ=1/sec θ=12/13।
28. cosec θ=5/3 হলে sin θ কত?
উত্তর: sin θ=1/cosec θ=3/5।
29. sin²θ+cos²θ=1 কেন গুরুত্বপূর্ণ?
উত্তর: এটি sin ও cos-এর মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক এবং অনেক অভেদ সরলীকরণে ব্যবহৃত হয়।
30. ত্রিকোণমিতিক অভেদ কাকে বলে?
উত্তর: যে সমতা চলকের সব গ্রহণযোগ্য মানের জন্য সত্য থাকে, তাকে ত্রিকোণমিতিক অভেদ বলে।
31. অনুপাত ও অভেদের পার্থক্য কী?
উত্তর: অনুপাত হলো নির্দিষ্ট কোণের জন্য বাহুর অনুপাত; অভেদ হলো অনুপাতগুলির মধ্যে সর্বদা সত্য সম্পর্ক।
32. কোন শর্তে tan θ=sin θ/cos θ?
উত্তর: যখন cos θ≠0, তখন tan θ=sin θ/cos θ।
33. কোন শর্তে cot θ=cos θ/sin θ?
উত্তর: যখন sin θ≠0, তখন cot θ=cos θ/sin θ।
34. sin²θ-কে কীভাবে লেখা যায়?
উত্তর: sin²θ=1−cos²θ।
35. cos²θ-কে কীভাবে লেখা যায়?
উত্তর: cos²θ=1−sin²θ।
36. tan θ·cot θ-এর মান কত?
উত্তর: যেখানে উভয় অনুপাত সংজ্ঞায়িত, tan θ·cot θ=1।
37. sec θ·cos θ-এর মান কত?
উত্তর: যেখানে সংজ্ঞায়িত, sec θ·cos θ=1।
38. cosec θ·sin θ-এর মান কত?
উত্তর: যেখানে সংজ্ঞায়িত, cosec θ·sin θ=1।
39. sin 0°, cos 0°-এর মান লেখো।
উত্তর: sin 0°=0 এবং cos 0°=1।
40. sin 90°, cos 90°-এর মান লেখো।
উত্তর: sin 90°=1 এবং cos 90°=0।
41. tan 0°-এর মান কত?
উত্তর: tan 0°=0।
42. কেন tan 90° অসংজ্ঞায়িত?
উত্তর: tan θ=sin θ/cos θ; cos 90°=0 হওয়ায় শূন্য দিয়ে ভাগ করতে হয়, তাই অসংজ্ঞায়িত।
43. sin θ-এর পরিসর কী?
উত্তর: বাস্তব কোণের জন্য −1≤sin θ≤1।
44. cos θ-এর পরিসর কী?
উত্তর: বাস্তব কোণের জন্য −1≤cos θ≤1।
45. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান বাহুর মাপের ওপর নির্ভর করে কি?
উত্তর: একই কোণ অপরিবর্তিত থাকলে অনুপাত বাহুর দৈর্ঘ্যের ওপর নয়, কোণের ওপর নির্ভর করে।
46. সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজে অনুপাত একই কেন?
উত্তর: সদৃশ ত্রিভুজে অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান, তাই একই কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত একই থাকে।
47. 1+tan²θ=sec²θ থেকে sec θ কীভাবে পাওয়া যায়?
উত্তর: sec²θ=1+tan²θ; তাই sec θ-এর বর্গমূল নিলে, কোণ ও চিহ্নের উপযুক্ত শর্তে sec θ=±√(1+tan²θ)।
48. 1+cot²θ=cosec²θ থেকে cosec θ নির্ণয় কীভাবে?
উত্তর: cosec²θ=1+cot²θ; তাই cosec θ=±√(1+cot²θ), চিহ্ন কোণের অবস্থার ওপর নির্ভর করে।
49. পরিপূরক কোণ বলতে কী বোঝায়?
উত্তর: দুই কোণের যোগফল 90° হলে তারা পরস্পরের পরিপূরক কোণ।
50. sin θ=cos θ হলে 0°–90°-এর মধ্যে θ কত?
উত্তর: sin θ=cos θ হলে tan θ=1; তাই θ=45°।
51. ত্রিকোণমিতিক অভেদ প্রমাণে কী কৌশল নেওয়া যায়?
উত্তর: সাধারণত একটি পক্ষকে সরল করে অন্য পক্ষের সমান দেখানো হয়; মৌলিক অভেদ ও ব্যস্ত অনুপাত ব্যবহার করা হয়।
বিভাগ–C: ৩ নম্বরের প্রশ্নোত্তর (২০টি)
1. sin θ=3/5 হলে cos θ ও tan θ নির্ণয় করো, যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর: cos²θ=1−9/25=16/25, তাই cos θ=4/5। tan θ=sin θ/cos θ=(3/5)/(4/5)=3/4।
2. cos θ=12/13 হলে sin θ ও cot θ নির্ণয় করো, যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর: sin²θ=1−144/169=25/169, তাই sin θ=5/13। cot θ=cos θ/sin θ=12/5।
3. প্রমাণ করো: sec²θ−tan²θ=1।
উত্তর: 1+tan²θ=sec²θ মৌলিক অভেদ। উভয় পক্ষ থেকে tan²θ বিয়োগ করলে sec²θ−tan²θ=1।
4. প্রমাণ করো: cosec²θ−cot²θ=1।
উত্তর: 1+cot²θ=cosec²θ। উভয় পক্ষ থেকে cot²θ বিয়োগ করলে cosec²θ−cot²θ=1।
5. প্রমাণ করো: tan θ=sin θ/cos θ।
উত্তর: tan θ=লম্ব/ভূমি, sin θ=লম্ব/অতিভুজ এবং cos θ=ভূমি/অতিভুজ। তাই sin θ/cos θ=(লম্ব/অতিভুজ)/(ভূমি/অতিভুজ)=লম্ব/ভূমি=tan θ।
6. যদি tan θ=5/12 হয়, sin θ, cos θ ও sec θ নির্ণয় করো।
উত্তর: লম্ব 5, ভূমি 12 ধরলে অতিভুজ=√(25+144)=13। তাই sin θ=5/13, cos θ=12/13, sec θ=13/12।
7. সরল করো: (1−sin²θ)/cos²θ।
উত্তর: 1−sin²θ=cos²θ। তাই ভগ্নাংশটি cos²θ/cos²θ=1, যেখানে cos θ≠0।
8. সরল করো: (1−cos²θ)/sin²θ।
উত্তর: 1−cos²θ=sin²θ। তাই মান 1, যেখানে sin θ≠0।
9. প্রমাণ করো: (sec θ−cos θ) = sin²θ/cos θ।
উত্তর: বামপক্ষ=1/cos θ−cos θ=(1−cos²θ)/cos θ=sin²θ/cos θ।
10. প্রমাণ করো: (cosec θ−sin θ)=cos²θ/sin θ।
উত্তর: বামপক্ষ=1/sin θ−sin θ=(1−sin²θ)/sin θ=cos²θ/sin θ।
11. sin θ=8/17 হলে cos θ ও tan θ নির্ণয় করো।
উত্তর: cos θ=√(1−64/289)=15/17 (θ সূক্ষ্মকোণ)। tan θ=(8/17)/(15/17)=8/15।
12. যদি sec θ=5/4 হয়, tan θ নির্ণয় করো (θ সূক্ষ্মকোণ)।
উত্তর: sec²θ−tan²θ=1। tan²θ=25/16−1=9/16; তাই tan θ=3/4।
13. যদি cosec θ=13/5 হয়, cot θ নির্ণয় করো (θ সূক্ষ্মকোণ)।
উত্তর: cosec²θ−cot²θ=1। cot²θ=169/25−1=144/25; তাই cot θ=12/5।
14. প্রমাণ করো: sin θ·sec θ=tan θ।
উত্তর: sin θ·sec θ=sin θ×(1/cos θ)=sin θ/cos θ=tan θ।
15. প্রমাণ করো: cos θ·cosec θ=cot θ।
উত্তর: cos θ·cosec θ=cos θ×(1/sin θ)=cos θ/sin θ=cot θ।
16. সরল করো: tan θ+cot θ।
উত্তর: tan θ+cot θ=sin θ/cos θ+cos θ/sin θ=(sin²θ+cos²θ)/(sin θ cos θ)=1/(sin θ cos θ), যেখানে হর শূন্য নয়।
17. sin 30°+cos 60°+tan 45° নির্ণয় করো।
উত্তর: =1/2+1/2+1=2।
18. 2sin 30°+3cos 60°−tan 45° নির্ণয় করো।
উত্তর: =2×1/2+3×1/2−1=1+3/2−1=3/2।
19. প্রমাণ করো: sin(90°−θ)=cos θ এবং cos(90°−θ)=sin θ।
উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজে দুই সূক্ষ্মকোণ পরিপূরক। θ-এর বিপরীত বাহু অপর কোণের সন্নিহিত বাহু হয়; তাই sin(90°−θ)=cos θ। একইভাবে cos(90°−θ)=sin θ।
20. যদি sin θ=5/13 হয়, (1−cos θ)/(sin θ) সরল করো, θ সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর: cos θ=12/13। ভগ্নাংশ=(1−12/13)/(5/13)=(1/13)/(5/13)=1/5।
বিভাগ–D: ৫ নম্বরের বিস্তারিত প্রশ্নোত্তর (১০টি)
1. প্রমাণ করো: (1−sin θ)(1+sin θ)=cos²θ।
উত্তর: বামপক্ষ=(1−sin θ)(1+sin θ)=1−sin²θ। মৌলিক অভেদ sin²θ+cos²θ=1 থেকে 1−sin²θ=cos²θ। অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ; প্রমাণিত।
2. প্রমাণ করো: (sec θ−1)(sec θ+1)=tan²θ।
উত্তর: বামপক্ষ=sec²θ−1। অভেদ sec²θ−tan²θ=1 থেকে sec²θ−1=tan²θ। তাই বামপক্ষ=tan²θ; প্রমাণিত।
3. প্রমাণ করো: (cosec θ−1)(cosec θ+1)=cot²θ।
উত্তর: বামপক্ষ=cosec²θ−1। অভেদ cosec²θ−cot²θ=1 থেকে cosec²θ−1=cot²θ। তাই বামপক্ষ=ডানপক্ষ; প্রমাণিত।
4. যদি tan θ=3/4 হয়, সব ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো, যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর: লম্ব=3, ভূমি=4 ধরলে অতিভুজ=5। sin θ=3/5, cos θ=4/5, tan θ=3/4, cosec θ=5/3, sec θ=5/4, cot θ=4/3।
5. যদি cos θ=8/17 হয়, বাকি পাঁচটি অনুপাত নির্ণয় করো, θ সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর: ভূমি=8, অতিভুজ=17; লম্ব=√(289−64)=15। sin θ=15/17, tan θ=15/8, cosec θ=17/15, sec θ=17/8, cot θ=8/15।
6. প্রমাণ করো: (1+tan²θ)cos²θ=1।
উত্তর: বামপক্ষ=(1+tan²θ)cos²θ=sec²θ·cos²θ। sec θ=1/cos θ, তাই sec²θ·cos²θ=1। প্রমাণিত।
7. প্রমাণ করো: (1+cot²θ)sin²θ=1।
উত্তর: বামপক্ষ=(1+cot²θ)sin²θ=cosec²θ·sin²θ=1। প্রমাণিত।
8. প্রমাণ করো: (sec²θ−1)/(cosec²θ−1)=tan²θ।
উত্তর: sec²θ−1=tan²θ এবং cosec²θ−1=cot²θ। ভগ্নাংশ=tan²θ/cot²θ=tan⁴θ; তাই প্রদত্ত পরিচয়টি সাধারণভাবে tan²θ নয়, বরং tan⁴θ। প্রশ্নে সঠিক অভেদটি হবে (sec²θ−1)/(cot²θ)=tan²θ অথবা (sec²θ−1)/(cosec²θ−1)=tan⁴θ।
9. প্রমাণ করো: (sin θ+cos θ)²=1+2sin θ cos θ।
উত্তর: বামপক্ষ=(sin θ+cos θ)²=sin²θ+2sin θ cos θ+cos²θ। sin²θ+cos²θ=1, তাই বামপক্ষ=1+2sin θ cos θ।
10. প্রমাণ করো: (sin θ−cos θ)²=1−2sin θ cos θ।
উত্তর: বামপক্ষ=sin²θ−2sin θ cos θ+cos²θ=1−2sin θ cos θ। প্রমাণিত।
শেষ মুহূর্তের রিভিশন
• sin²θ+cos²θ=1
• 1+tan²θ=sec²θ
• 1+cot²θ=cosec²θ
• tan θ=sin θ/cos θ; cot θ=cos θ/sin θ
• sin(90°−θ)=cos θ; cos(90°−θ)=sin θ
• সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে বর্গমূল নেওয়ার সময় ধনাত্মক মান নেওয়া হয়।
পরীক্ষার পরামর্শ: অভেদ প্রমাণে সাধারণত এক পক্ষকে সরল করে অপর পক্ষের সমান দেখাও। ভগ্নাংশে হর শূন্য হতে পারে কি না যাচাই করো এবং সূক্ষ্মকোণের শর্ত থাকলে উপযুক্ত ধনাত্মক বর্গমূল নাও।
উন্নত মানের ৪ ও ৫ নম্বরের প্রশ্নোত্তর
নিচের উত্তরগুলি পরীক্ষায় লেখার উপযোগী করে ধাপে ধাপে সাজানো হয়েছে। যেখানে প্রয়োজন, পরিচয়ের শর্ত ও হিসাব দেখানো হয়েছে।
বিভাগ–E: ৪ নম্বরের প্রশ্নোত্তর
1. প্রমাণ করো: (1−sin θ)(1+sin θ)=cos²θ।
উত্তর:
বামপক্ষ = (1−sin θ)(1+sin θ)
= 1−sin²θ [বর্গের অন্তর সূত্র]
আমরা জানি, sin²θ+cos²θ=1। সুতরাং 1−sin²θ=cos²θ।
অতএব, বামপক্ষ = cos²θ = ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
2. প্রমাণ করো: (sec θ−1)(sec θ+1)=tan²θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=(sec θ−1)(sec θ+1)=sec²θ−1।
মৌলিক অভেদ থেকে sec²θ=1+tan²θ। তাই sec²θ−1=tan²θ।
অতএব, বামপক্ষ=tan²θ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
3. প্রমাণ করো: (cosec θ−1)(cosec θ+1)=cot²θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=cosec²θ−1।
আমরা জানি, cosec²θ=1+cot²θ। অতএব cosec²θ−1=cot²θ।
সুতরাং বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
4. যদি tan θ=3/4 হয়, θ সূক্ষ্মকোণ হলে ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো।
উত্তর:
tan θ=লম্ব/ভূমি=3/4। তাই লম্ব=3k ও ভূমি=4k ধরা যায়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে অতিভুজ=√((3k)²+(4k)²)=√25k²=5k।
অতএব sin θ=3/5, cos θ=4/5, tan θ=3/4, cosec θ=5/3, sec θ=5/4 এবং cot θ=4/3।
5. যদি cos θ=8/17 হয়, θ সূক্ষ্মকোণ হলে বাকি পাঁচটি অনুপাত নির্ণয় করো।
উত্তর:
cos θ=ভূমি/অতিভুজ=8/17। তাই ভূমি=8k ও অতিভুজ=17k।
লম্ব=√((17k)²−(8k)²)=√(289−64)k=15k।
তাই sin θ=15/17, tan θ=15/8, cosec θ=17/15, sec θ=17/8 এবং cot θ=8/15।
6. প্রমাণ করো: (sin θ+cos θ)²=1+2sin θ cos θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=(sin θ+cos θ)²
=sin²θ+2sin θ cos θ+cos²θ
=(sin²θ+cos²θ)+2sin θ cos θ
=1+2sin θ cos θ, কারণ sin²θ+cos²θ=1।
অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
7. প্রমাণ করো: (sin θ−cos θ)²=1−2sin θ cos θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=(sin θ−cos θ)²
=sin²θ−2sin θ cos θ+cos²θ
=(sin²θ+cos²θ)−2sin θ cos θ
=1−2sin θ cos θ।
অতএব প্রমাণিত।
8. সরল করো: tan θ+cot θ।
উত্তর:
tan θ+cot θ=sin θ/cos θ+cos θ/sin θ
=(sin²θ+cos²θ)/(sin θ cos θ)
=1/(sin θ cos θ), কারণ sin²θ+cos²θ=1।
সুতরাং সরলীকৃত মান 1/(sin θ cos θ), যেখানে sin θ cos θ≠0।
9. যদি sec θ=5/4 হয়, θ সূক্ষ্মকোণ হলে tan θ ও sin θ নির্ণয় করো।
উত্তর:
sec θ=5/4 হলে cos θ=1/sec θ=4/5।
sin²θ=1−cos²θ=1−16/25=9/25। θ সূক্ষ্মকোণ, তাই sin θ=3/5।
আবার tan θ=sin θ/cos θ=(3/5)/(4/5)=3/4।
10. যদি cosec θ=13/5 হয়, θ সূক্ষ্মকোণ হলে cot θ ও cos θ নির্ণয় করো।
উত্তর:
cosec θ=13/5 হলে sin θ=5/13।
cos²θ=1−sin²θ=1−25/169=144/169; সূক্ষ্মকোণ বলে cos θ=12/13।
cot θ=cos θ/sin θ=(12/13)/(5/13)=12/5।
11. প্রমাণ করো: (1+tan²θ)cos²θ=1।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1+tan²θ)cos²θ।
অভেদ 1+tan²θ=sec²θ ব্যবহার করলে বামপক্ষ=sec²θ cos²θ।
sec θ=1/cos θ, তাই sec²θ cos²θ=(1/cos²θ)cos²θ=1।
অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
12. প্রমাণ করো: (1+cot²θ)sin²θ=1।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1+cot²θ)sin²θ।
অভেদ 1+cot²θ=cosec²θ থেকে বামপক্ষ=cosec²θ sin²θ।
cosec θ=1/sin θ, তাই (1/sin²θ)sin²θ=1।
অতএব প্রমাণিত।
13. sin θ=5/13 হলে (1−cos θ)/sin θ নির্ণয় করো, θ সূক্ষ্মকোণ।
উত্তর:
sin θ=5/13। তাই cos²θ=1−25/169=144/169 এবং cos θ=12/13।
এখন (1−cos θ)/sin θ=(1−12/13)/(5/13)
=(1/13)/(5/13)=1/5।
উত্তর: 1/5।
14. প্রমাণ করো: sin θ·sec θ=tan θ এবং cos θ·cosec θ=cot θ।
উত্তর:
প্রথমে, sin θ·sec θ=sin θ×(1/cos θ)=sin θ/cos θ=tan θ।
দ্বিতীয়ত, cos θ·cosec θ=cos θ×(1/sin θ)=cos θ/sin θ=cot θ।
সুতরাং উভয় সম্পর্কই প্রমাণিত, যেখানে সংশ্লিষ্ট হর শূন্য নয়।
15. মান নির্ণয় করো: 2sin 30°+3cos 60°−tan 45°।
উত্তর:
আমরা জানি sin 30°=1/2, cos 60°=1/2 এবং tan 45°=1।
প্রদত্ত রাশি=2×1/2+3×1/2−1
=1+3/2−1=3/2।
উত্তর: 3/2।
বিভাগ–F: ৫ নম্বরের বিস্তারিত প্রশ্নোত্তর
1. প্রমাণ করো: (1−sin θ)/cos θ = cos θ/(1+sin θ)।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1−sin θ)/cos θ। লব ও হরকে (1+sin θ) দিয়ে গুণ করলে,
বামপক্ষ={(1−sin θ)(1+sin θ)}/{cos θ(1+sin θ)}
=(1−sin²θ)/{cos θ(1+sin θ)}
=cos²θ/{cos θ(1+sin θ)}=cos θ/(1+sin θ)=ডানপক্ষ।
অতএব প্রমাণিত; এখানে হরগুলি শূন্য নয় এমন মান বিবেচ্য।
2. প্রমাণ করো: (sec θ−cos θ)/tan θ = sin θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1/cos θ−cos θ)/(sin θ/cos θ)
={(1−cos²θ)/cos θ}×{cos θ/sin θ}
=sin²θ/sin θ=sin θ।
অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত, যেখানে ভগ্নাংশগুলি সংজ্ঞায়িত।
3. প্রমাণ করো: (cosec θ−sin θ)/cot θ = cos θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1/sin θ−sin θ)/(cos θ/sin θ)
={(1−sin²θ)/sin θ}×{sin θ/cos θ}
=cos²θ/cos θ=cos θ।
অতএব প্রমাণিত, যেখানে হর শূন্য নয়।
4. যদি tan θ=5/12 হয়, θ সূক্ষ্মকোণ হলে ছয়টি অনুপাত নির্ণয় করো এবং যাচাই করো 1+tan²θ=sec²θ।
উত্তর:
tan θ=লম্ব/ভূমি=5/12। লম্ব=5k, ভূমি=12k ধরলে অতিভুজ=√(25+144)k=13k।
তাই sin θ=5/13, cos θ=12/13, tan θ=5/12, cosec θ=13/5, sec θ=13/12, cot θ=12/5।
যাচাই: 1+tan²θ=1+25/144=169/144। আবার sec²θ=(13/12)²=169/144।
দুই পক্ষ সমান; অভেদটি যাচাই হলো।
5. যদি sin θ=12/13 হয়, θ সূক্ষ্মকোণ হলে বাকি পাঁচটি অনুপাত নির্ণয় করো।
উত্তর:
sin θ=12/13=লম্ব/অতিভুজ। লম্ব=12k ও অতিভুজ=13k ধরলে ভূমি=√(169−144)k=5k।
অতএব cos θ=5/13, tan θ=12/5, cosec θ=13/12, sec θ=13/5 এবং cot θ=5/12।
6. প্রমাণ করো: (1+sin θ)/cos θ = cos θ/(1−sin θ)।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1+sin θ)/cos θ। লব ও হরকে (1−sin θ) দিয়ে গুণ করলে,
={(1+sin θ)(1−sin θ)}/{cos θ(1−sin θ)}
=(1−sin²θ)/{cos θ(1−sin θ)}
=cos²θ/{cos θ(1−sin θ)}=cos θ/(1−sin θ)=ডানপক্ষ।
অতএব প্রমাণিত, যেখানে হর শূন্য নয়।
7. প্রমাণ করো: (sin θ+cos θ)²+(sin θ−cos θ)²=2।
উত্তর:
বামপক্ষ=(sin²θ+2sin θ cos θ+cos²θ)+(sin²θ−2sin θ cos θ+cos²θ)।
মধ্যবর্তী +2sin θ cos θ ও −2sin θ cos θ পরস্পর কাটাকাটি হয়।
তাই বামপক্ষ=2sin²θ+2cos²θ=2(sin²θ+cos²θ)=2×1=2।
অতএব প্রমাণিত।
8. সরল করো: (sec²θ−1)/(cosec²θ−1)।
উত্তর:
অভেদ থেকে sec²θ−1=tan²θ এবং cosec²θ−1=cot²θ।
তাই প্রদত্ত রাশি=tan²θ/cot²θ। যেহেতু cot θ=1/tan θ, তাই tan²θ/cot²θ=tan²θ×tan²θ=tan⁴θ।
অতএব সঠিক সরলীকৃত মান tan⁴θ; tan²θ নয়।
9. প্রমাণ করো: (1+tan²θ)/(1+cot²θ)=tan²θ।
উত্তর:
বামপক্ষ=(sec²θ)/(cosec²θ)।
sec²θ=1/cos²θ এবং cosec²θ=1/sin²θ, তাই বামপক্ষ=(1/cos²θ)/(1/sin²θ)=sin²θ/cos²θ=tan²θ।
অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
10. প্রমাণ করো: (sin θ/cos θ)+(cos θ/sin θ)=1/(sin θ cos θ)।
উত্তর:
বামপক্ষ=sin θ/cos θ+cos θ/sin θ। সাধারণ হর নিলে,
=(sin²θ+cos²θ)/(sin θ cos θ)
=1/(sin θ cos θ), কারণ sin²θ+cos²θ=1।
অতএব প্রমাণিত, যেখানে sin θ cos θ≠0।
11. প্রমাণ করো: (sec θ+tan θ)(sec θ−tan θ)=1।
উত্তর:
বামপক্ষ=(sec θ+tan θ)(sec θ−tan θ)=sec²θ−tan²θ।
মৌলিক অভেদ sec²θ−tan²θ=1।
সুতরাং বামপক্ষ=1=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
12. প্রমাণ করো: (cosec θ+cot θ)(cosec θ−cot θ)=1।
উত্তর:
বামপক্ষ=cosec²θ−cot²θ।
মৌলিক অভেদ cosec²θ−cot²θ=1।
অতএব বামপক্ষ=ডানপক্ষ। প্রমাণিত।
13. যদি sec θ+tan θ=3 হয়, sec θ−tan θ নির্ণয় করো।
উত্তর:
আমরা জানি (sec θ+tan θ)(sec θ−tan θ)=sec²θ−tan²θ=1।
প্রদত্ত sec θ+tan θ=3 বসালে 3(sec θ−tan θ)=1।
অতএব sec θ−tan θ=1/3।
14. যদি cosec θ+cot θ=5 হয়, cosec θ−cot θ নির্ণয় করো।
উত্তর:
মৌলিক অভেদ থেকে (cosec θ+cot θ)(cosec θ−cot θ)=cosec²θ−cot²θ=1।
প্রদত্ত cosec θ+cot θ=5। তাই 5(cosec θ−cot θ)=1।
অতএব cosec θ−cot θ=1/5।
15. প্রমাণ করো: (1−cos θ)/sin θ = sin θ/(1+cos θ)।
উত্তর:
বামপক্ষ=(1−cos θ)/sin θ। লব ও হরকে (1+cos θ) দিয়ে গুণ করলে,
={(1−cos θ)(1+cos θ)}/{sin θ(1+cos θ)}
=(1−cos²θ)/{sin θ(1+cos θ)}
=sin²θ/{sin θ(1+cos θ)}=sin θ/(1+cos θ)=ডানপক্ষ।
অতএব প্রমাণিত, যেখানে হর শূন্য নয়।