ত্রিকোণমিতি : কোণ পরিমাপের ধারণা
প্রয়োজনীয় ধারণা ও সূত্র
সমকোণ = ৯০°; সরলকোণ = ১৮০°; পূর্ণকোণ = ৩৬০°।
১° = ৬০′ এবং ১′ = ৬০″; অতএব ১° = ৩৬০০″।
১ রেডিয়ান হলো এমন কেন্দ্রীয় কোণ, যা বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ দ্বারা উৎপন্ন হয়।
রেডিয়ান পরিমাপ θ = চাপের দৈর্ঘ্য (s) / ব্যাসার্ধ (r)।
১৮০° = π রেডিয়ান; ৩৬০° = ২π রেডিয়ান।
ডিগ্রি থেকে রেডিয়ান: θ° × π/১৮০; রেডিয়ান থেকে ডিগ্রি: θ × ১৮০/π।
চাপের দৈর্ঘ্য s = rθ (θ রেডিয়ানে); বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = ½r²θ (θ রেডিয়ানে)।
বিভাগ–A: বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ) — ৩০টি
প্রশ্ন 1. ১° সমান কত মিনিট?
উত্তর: ৩০′৬০′৯০′৩৬০′
প্রশ্ন 2. ১′ সমান কত সেকেন্ড?
উত্তর: ৩০″৬০″১০০″৩৬০″
প্রশ্ন 3. সরলকোণের পরিমাণ কত?
উত্তর: ৯০°১৮০°২৭০°৩৬০°
প্রশ্ন 4. পূর্ণকোণের পরিমাণ কত?
উত্তর: ৯০°১৮০°২৭০°৩৬০°
প্রশ্ন 5. ১৮০° সমান কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/২π২ππ/৩
প্রশ্ন 6. ৯০° সমান কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/২π২ππ/৪
প্রশ্ন 7. ৩৬০° সমান কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/২π২π৩π
প্রশ্ন 8. ১ রেডিয়ান প্রায় কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৪৫°৫৭.৩°৬০°৯০°
প্রশ্ন 9. ডিগ্রিকে রেডিয়ানে বদলাতে কোন গুণক ব্যবহার হয়?
উত্তর: ১৮০/ππ/১৮০π/৩৬০৩৬০/π
প্রশ্ন 10. রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে বদলানোর গুণক কোনটি?
উত্তর: π/১৮০১৮০/π৯০/ππ/৯০
প্রশ্ন 11. π/৩ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৩০°৪৫°৬০°৯০°
প্রশ্ন 12. ২π/৩ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৬০°৯০°১২০°১৫০°
প্রশ্ন 13. ৫π/৬ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ১২০°১৩৫°১৫০°১৬০°
প্রশ্ন 14. ২২৫° কত রেডিয়ান?
উত্তর: ৫π/৪৪π/৫৩π/৪৭π/৬
প্রশ্ন 15. ৩০° কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/৩π/৬π/৪π/২
প্রশ্ন 16. ১৫° কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/৬π/১২π/১৮π/৯
প্রশ্ন 17. ২৭০° কত রেডিয়ান?
উত্তর: π৩π/২২π৫π/৪
প্রশ্ন 18. চাপের দৈর্ঘ্য s এবং ব্যাসার্ধ r হলে রেডিয়ান θ কত?
উত্তর: r/ss/rsrs+r
প্রশ্ন 19. চাপের দৈর্ঘ্যের সূত্র কোনটি?
উত্তর: s=r/θs=rθs=θ/rs=r+θ
প্রশ্ন 20. ব্যাসার্ধ r ও কোণ θ রেডিয়ানে হলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল—
উত্তর: rθr²θ½r²θ2πr
প্রশ্ন 21. কোণ পরিমাপের প্রচলিত একক কোন দুটি?
উত্তর: মিটার ও সেমিডিগ্রি ও রেডিয়ানলিটার ও মিলিগ্রাম ও কেজি
প্রশ্ন 22. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি এবং চাপের দৈর্ঘ্য ৭ সেমি। কেন্দ্রীয় কোণ—
উত্তর: ১ রেডিয়ান২ রেডিয়ান৭ রেডিয়ানπ রেডিয়ান
প্রশ্ন 23. ৬০° কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/৬π/৩π/২২π/৩
প্রশ্ন 24. ১৩৫° কত রেডিয়ান?
উত্তর: ৩π/৪২π/৩৫π/৬৭π/৬
প্রশ্ন 25. ১২০° কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/৩২π/৩৩π/৪৫π/৬
প্রশ্ন 26. ৭π/৬ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ১৮০°২১০°২৪০°২৭০°
প্রশ্ন 27. ১১π/৬ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ২৭০°৩০০°৩৩০°৩৬০°
প্রশ্ন 28. একটি কোণ ৪৫° হলে রেডিয়ান পরিমাপ—
উত্তর: π/২π/৪π/৩π/৬
প্রশ্ন 29. এক পূর্ণ আবর্তনের এক-চতুর্থাংশ কত?
উত্তর: π/৪π/২π৩π/২
প্রশ্ন 30. ১° কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/১৮০π/৯০π/৬০π/৩৬০
বিভাগ–B: অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নোত্তর — ২৫টি
প্রশ্ন 1. কোণ পরিমাপের দুটি এককের নাম লেখো।
উত্তর: ডিগ্রি এবং রেডিয়ান।
প্রশ্ন 2. ১ ডিগ্রিতে কত মিনিট?
উত্তর: ৬০ মিনিট (৬০′)।
প্রশ্ন 3. ১ মিনিটে কত সেকেন্ড?
উত্তর: ৬০ সেকেন্ড (৬০″)।
প্রশ্ন 4. ১৮০°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ১৮০° = π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 5. ৯০°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৯০° = π/২ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 6. ৩৬০°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৩৬০° = ২π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 7. ১ রেডিয়ানের সংজ্ঞা দাও।
উত্তর: বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ উৎপন্ন করে, তাকে ১ রেডিয়ান বলে।
প্রশ্ন 8. রেডিয়ান পরিমাপের সূত্র লেখো।
উত্তর: θ = s/r, যেখানে s চাপের দৈর্ঘ্য এবং r ব্যাসার্ধ।
প্রশ্ন 9. ডিগ্রি থেকে রেডিয়ানে রূপান্তরের সূত্র লেখো।
উত্তর: θ° = θπ/১৮০ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 10. রেডিয়ান থেকে ডিগ্রিতে রূপান্তরের সূত্র লেখো।
উত্তর: θ রেডিয়ান = θ × ১৮০/π ডিগ্রি।
প্রশ্ন 11. π/২ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৯০°।
প্রশ্ন 12. π/৪ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৪৫°।
প্রশ্ন 13. π/৬ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৩০°।
প্রশ্ন 14. π/৩ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ৬০°।
প্রশ্ন 15. ৩π/২ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ২৭০°।
প্রশ্ন 16. ২π/৩ রেডিয়ান কত ডিগ্রি?
উত্তর: ১২০°।
প্রশ্ন 17. ২১০°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ২১০ × π/১৮০ = ৭π/৬ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 18. ৩০০°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৩০০ × π/১৮০ = ৫π/৩ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 19. একটি বৃত্তে ব্যাসার্ধ ৫ সেমি ও চাপ ১০ সেমি হলে কোণ কত?
উত্তর: θ=s/r=১০/৫=২ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 20. সমকোণ কত রেডিয়ান?
উত্তর: π/২ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 21. সরলকোণ কত রেডিয়ান?
উত্তর: π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 22. শূন্য কোণের রেডিয়ান পরিমাপ কত?
উত্তর: ০ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 23. কোণের রেডিয়ান পরিমাপ কি এককসহ লেখা হয়?
উত্তর: রেডিয়ান পরিমাপ s/r অনুপাত হওয়ায় এটি মাত্রাহীন; তবে বোঝানোর জন্য ‘রেডিয়ান’ লেখা হয়।
প্রশ্ন 24. বৃত্তের পরিধির সূত্র লেখো।
উত্তর: পরিধি = ২πr।
প্রশ্ন 25. θ রেডিয়ান কোণের দ্বারা উৎপন্ন চাপের দৈর্ঘ্য কী?
উত্তর: s=rθ।
বিভাগ–C: সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যামূলক প্রশ্নোত্তর — ৩০টি
প্রশ্ন 1. ডিগ্রি ও রেডিয়ান পরিমাপের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করো।
উত্তর: এক পূর্ণ বৃত্তের কোণ ৩৬০° এবং রেডিয়ানে ২π। তাই ৩৬০°=২π রেডিয়ান; উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করলে ১৮০°=π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 2. ১ রেডিয়ান প্রায় ৫৭.৩° কেন?
উত্তর: ১৮০°=π রেডিয়ান। তাই ১ রেডিয়ান = ১৮০/π ডিগ্রি। π≈৩.১৪১৬ বসালে ১৮০/π≈৫৭.৩°, অর্থাৎ ১ রেডিয়ান প্রায় ৫৭.৩°।
প্রশ্ন 3. ৪৮°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৪৮° × π/১৮০ = ৪৮π/১৮০ = ৪π/১৫ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 4. ৭২°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৭২° × π/১৮০ = ২π/৫ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 5. ১০৮°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ১০৮° × π/১৮০ = ৩π/৫ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 6. ১৪৪°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ১৪৪° × π/১৮০ = ৪π/৫ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 7. ২৪০°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ২৪০° × π/১৮০ = ৪π/৩ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 8. ৩১৫°-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৩১৫° × π/১৮০ = ৭π/৪ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 9. ৫π/১২ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৫π/১২ × ১৮০/π = ৭৫°।
প্রশ্ন 10. ৭π/১২ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৭π/১২ × ১৮০/π = ১০৫°।
প্রশ্ন 11. ৪π/৯ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৪π/৯ × ১৮০/π = ৮০°।
প্রশ্ন 12. ৫π/৯ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৫π/৯ × ১৮০/π = ১০০°।
প্রশ্ন 13. ১১π/১২ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো।
উত্তর: ১১π/১২ × ১৮০/π = ১৬৫°।
প্রশ্ন 14. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি এবং চাপের দৈর্ঘ্য ৭π সেমি। কেন্দ্রীয় কোণ রেডিয়ানে নির্ণয় করো।
উত্তর: θ=s/r=৭π/১৪=π/২ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 15. ব্যাসার্ধ ১০ সেমি ও কেন্দ্রীয় কোণ ১.২ রেডিয়ান হলে চাপের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: s=rθ=১০×১.২=১২ সেমি।
প্রশ্ন 16. ব্যাসার্ধ ৭ সেমি এবং কোণ ২ রেডিয়ান হলে চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: s=rθ=৭×২=১৪ সেমি।
প্রশ্ন 17. ব্যাসার্ধ ২১ সেমি ও কোণ π/৩ হলে চাপের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: s=rθ=২১×π/৩=৭π সেমি।
প্রশ্ন 18. ব্যাসার্ধ ৬ সেমি ও কোণ π/২ হলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ক্ষেত্রফল = ½r²θ = ½×৬²×π/২ = ৯π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 19. ব্যাসার্ধ ৪ সেমি ও কোণ π/৩ হলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ক্ষেত্রফল = ½×১৬×π/৩ = ৮π/৩ বর্গসেমি।
প্রশ্ন 20. কেন s=rθ সূত্রে θ অবশ্যই রেডিয়ানে নিতে হয়?
উত্তর: রেডিয়ানের সংজ্ঞা θ=s/r, সুতরাং s=rθ সূত্রটি সরাসরি রেডিয়ান পরিমাপের সংজ্ঞা থেকে আসে। θ ডিগ্রিতে হলে আগে রেডিয়ানে রূপান্তর করতে হবে।
প্রশ্ন 21. একই কেন্দ্রীয় কোণের জন্য ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে চাপের দৈর্ঘ্য কী হবে?
উত্তর: s=rθ। θ অপরিবর্তিত থাকলে r দ্বিগুণ হলে s-ও দ্বিগুণ হবে।
প্রশ্ন 22. একই ব্যাসার্ধে কোণ দ্বিগুণ হলে চাপের দৈর্ঘ্য কী হবে?
উত্তর: s=rθ; r স্থির থাকলে θ দ্বিগুণ হলে চাপের দৈর্ঘ্যও দ্বিগুণ হবে।
প্রশ্ন 23. একটি বৃত্তে ১ রেডিয়ান কোণের চাপের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান কেন?
উত্তর: θ=s/r। θ=১ হলে s/r=১, অর্থাৎ s=r।
প্রশ্ন 24. ডিগ্রি ও রেডিয়ান পদ্ধতির একটি সুবিধা লেখো।
উত্তর: ডিগ্রি দৈনন্দিন কোণ বোঝাতে সহজ; রেডিয়ান বৃত্তের চাপ ও ক্ষেত্রফলের সূত্রকে সহজ করে এবং উচ্চতর গণিতে বিশেষভাবে সুবিধাজনক।
প্রশ্ন 25. π রেডিয়ান ও ১৮০° সমান হলেও π-কে কোণ পরিমাপে কেন ব্যবহার করা হয়?
উত্তর: রেডিয়ান পদ্ধতিতে কোণকে চাপ ও ব্যাসার্ধের অনুপাত দিয়ে প্রকাশ করা হয়। পূর্ণ বৃত্তে পরিধি ২πr হওয়ায় এক পূর্ণ কোণ ২π রেডিয়ান এবং অর্ধবৃত্ত π রেডিয়ান হয়।
প্রশ্ন 26. ব্যাসার্ধ r এবং কোণ θ হলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যাখ্যা করো।
উত্তর: পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² ও কোণ ২π রেডিয়ান। θ রেডিয়ানের বৃত্তকলা পূর্ণ বৃত্তের θ/(2π) অংশ; ক্ষেত্রফল = θ/(2π)×πr² = ½r²θ।
প্রশ্ন 27. একটি বৃত্তের পরিধি ৪৪ সেমি হলে ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো (π=২২/৭)।
উত্তর: ২πr=৪৪ ⇒ r=৪৪/(২×২২/৭)=৭ সেমি।
প্রশ্ন 28. একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ সেমি হলে পরিধি নির্ণয় করো (π=২২/৭)।
উত্তর: ব্যাসার্ধ ৭ সেমি। পরিধি=২πr=২×২২/৭×৭=৪৪ সেমি।
প্রশ্ন 29. একটি কোণ ১.৫ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো (প্রায়)।
উত্তর: ডিগ্রি = ১.৫×১৮০/π ≈ ৮৫.৯৪°।
প্রশ্ন 30. ২.৪ রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করো (প্রায়)।
উত্তর: ডিগ্রি = ২.৪×১৮০/π ≈ ১৩৭.৫১°।
বিভাগ–D: বাস্তবভিত্তিক ও প্রয়োগমূলক সমস্যা — ২৫টি
প্রশ্ন 1. একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ১৫ মিনিটে কত ডিগ্রি কোণ অতিক্রম করে? রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৬০ মিনিটে ৩৬০°; ১৫ মিনিটে কোণ = ৩৬০×১৫/৬০ = ৯০° = π/২ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 2. একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ২ ঘণ্টায় কত ডিগ্রি ঘোরে? রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ১২ ঘণ্টায় ৩৬০°; ২ ঘণ্টায় ৬০° = π/৩ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 3. একটি সাইকেলের চাকার ব্যাসার্ধ ৩৫ সেমি। চাকা এক পূর্ণ আবর্তনে কত দূরত্ব অতিক্রম করে?
উত্তর: এক আবর্তনে দূরত্ব = পরিধি = ২πr = ৭০π সেমি = ২২০ সেমি (π=২২/৭)।
প্রশ্ন 4. ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি চাকা ১০ বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
উত্তর: একবারে দূরত্ব=২π×১৪=২৮π সেমি। ১০ বার = ২৮০π=৮৮০ সেমি (π=২২/৭)।
প্রশ্ন 5. একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ ৭ মিটার। ৯০° কোণের বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: ৯০°=π/২ রেডিয়ান। s=rθ=৭×π/২=৭π/২ মিটার=১১ মিটার (π=২২/৭)।
প্রশ্ন 6. ব্যাসার্ধ ২১ সেমি বৃত্তে ৬০° কোণের চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: ৬০°=π/৩। s=২১×π/৩=৭π সেমি=২২ সেমি।
প্রশ্ন 7. ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি বৃত্তে ১২০° কোণের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ১২০°=২π/৩। ক্ষেত্রফল=½×১৪²×২π/৩=১৯৬π/৩ বর্গসেমি।
প্রশ্ন 8. একটি পিজ্জার ব্যাসার্ধ ১২ সেমি। ৬০° অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ৬০°=π/৩। ক্ষেত্রফল=½×১২²×π/৩=২৪π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 9. ব্যাসার্ধ ১০ সেমি বৃত্তে ২ রেডিয়ান কোণের চাপের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: s=rθ=১০×২=২০ সেমি।
প্রশ্ন 10. ব্যাসার্ধ ৮ মিটার বৃত্তাকার মাঠে ১.৫ রেডিয়ান কোণের চাপ বরাবর হাঁটলে দূরত্ব কত?
উত্তর: s=rθ=৮×১.৫=১২ মিটার।
প্রশ্ন 11. একটি ফ্যানের পাখা ১ সেকেন্ডে ৩০° ঘোরে। ৬ সেকেন্ডে মোট কোণ রেডিয়ানে কত?
উত্তর: মোট কোণ=৩০×৬=১৮০°=π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 12. একটি চাকায় ১ মিনিটে ১২০ বার আবর্তন হয়। ১ মিনিটে মোট কোণ কত রেডিয়ান?
উত্তর: প্রতি আবর্তন ২π রেডিয়ান। মোট=১২০×২π=২৪০π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 13. ব্যাসার্ধ ৭ সেমি বৃত্তে ৪৪ সেমি চাপের দৈর্ঘ্য হলে কেন্দ্রীয় কোণ কত রেডিয়ান?
উত্তর: θ=s/r=৪৪/৭ রেডিয়ান। এটি ২π রেডিয়ানের সমান, কারণ ৪৪/৭=২×২২/৭≈২π।
প্রশ্ন 14. একটি বৃত্তাকার ট্র্যাকের ব্যাসার্ধ ৫০ মিটার। ১/৫ পূর্ণ আবর্তনে অতিক্রান্ত দূরত্ব কত?
উত্তর: দূরত্ব=পূর্ণ পরিধির ১/৫ = (২π×৫০)/৫ = ২০π মিটার ≈৬২.৮৩ মিটার।
প্রশ্ন 15. ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি বৃত্তের এক-চতুর্থাংশ চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: এক-চতুর্থাংশ কোণ=π/২। s=১৪×π/২=৭π=২২ সেমি।
প্রশ্ন 16. ব্যাসার্ধ ২১ সেমি বৃত্তের অর্ধবৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: অর্ধবৃত্তের কোণ π রেডিয়ান। s=২১π সেমি=৬৬ সেমি।
প্রশ্ন 17. একটি গোলাকার ঘড়ির ডায়ালে মিনিটের কাঁটা ২০ মিনিটে কত রেডিয়ান ঘোরে?
উত্তর: ২০ মিনিটে কোণ=৩৬০×২০/৬০=১২০°=২π/৩ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 18. ব্যাসার্ধ ৭ মিটার বৃত্তাকার ফুলের বাগানের ৬০° বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ৬০°=π/৩। ক্ষেত্রফল=½×৭²×π/৩=৪৯π/৬ বর্গমিটার।
প্রশ্ন 19. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩ সেমি। ৪π/৩ রেডিয়ান কোণের চাপের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: s=rθ=৩×৪π/৩=৪π সেমি।
প্রশ্ন 20. ব্যাসার্ধ ৫ সেমি বৃত্তে ২π/৫ রেডিয়ান কোণের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ক্ষেত্রফল=½×২৫×২π/৫=৫π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 21. একটি চাকায় ব্যাস ৭০ সেমি। ১০০ পূর্ণ আবর্তনে কত দূরত্ব যাবে?
উত্তর: পরিধি=πd=৭০π সেমি=২২০ সেমি। ১০০ বার=২২,০০০ সেমি=২২০ মিটার।
প্রশ্ন 22. একটি বৃত্তাকার পার্কের পরিধি ৮৮ মিটার। ৯০° চাপের দৈর্ঘ্য কত?
উত্তর: ৯০° হলো পূর্ণ পরিধির ১/৪ অংশ। চাপ=৮৮/৪=২২ মিটার।
প্রশ্ন 23. একটি বৃত্তাকার পুকুরের ব্যাসার্ধ ১৪ মিটার। ১৮০° বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল=½πr²=½×π×১৯৬=৯৮π=৩০৮ বর্গমিটার।
প্রশ্ন 24. একটি ঘড়ির সেকেন্ডের কাঁটা ১০ সেকেন্ডে কত রেডিয়ান ঘোরে?
উত্তর: ৬০ সেকেন্ডে ২π রেডিয়ান; ১০ সেকেন্ডে ২π×১০/৬০=π/৩ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 25. একটি চাকা প্রতি সেকেন্ডে ২ পূর্ণ আবর্তন করে। ৫ সেকেন্ডে মোট কোণ কত ডিগ্রি ও রেডিয়ান?
উত্তর: মোট আবর্তন=২×৫=১০। কোণ=১০×৩৬০°=৩৬০০°=২০π রেডিয়ান।
বিভাগ–E: ৩ নম্বরের প্রশ্নোত্তর — ২০টি
প্রশ্ন 1. ১২০° ৩০′-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ১২০° ৩০′ = ১২০.৫°। রেডিয়ান = ১২০.৫×π/১৮০ = ২৪১π/৩৬০ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 2. ৪৫° ৩০′-কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
উত্তর: ৪৫°৩০′=৪৫.৫°। রেডিয়ান=৪৫.৫π/১৮০=৯১π/৩৬০ রেডিয়ান।
প্রশ্ন 3. ২.৫ রেডিয়ানকে ডিগ্রি ও মিনিটে প্রকাশ করো (নিকটতম মিনিটে)।
উত্তর: ডিগ্রি=২.৫×১৮০/π≈১৪৩.২৩৯°. ভগ্নাংশের মিনিট=০.২৩৯×৬০≈১৪.৩′। তাই প্রায় ১৪৩°১৪′।
প্রশ্ন 4. ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি এবং কেন্দ্রীয় কোণ ২.৫ রেডিয়ান হলে চাপের দৈর্ঘ্য ও বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: চাপ s=rθ=১৪×২.৫=৩৫ সেমি। ক্ষেত্রফল=½r²θ=½×১৯৬×২.৫=২৪৫ বর্গসেমি।
প্রশ্ন 5. একটি বৃত্তের চাপ ২২ সেমি এবং ব্যাসার্ধ ৭ সেমি। কেন্দ্রীয় কোণ রেডিয়ান ও ডিগ্রিতে নির্ণয় করো।
উত্তর: θ=s/r=২২/৭ রেডিয়ান। π≈২২/৭ ধরলে θ≈π রেডিয়ান=১৮০°।
প্রশ্ন 6. ব্যাসার্ধ ১০ সেমি বৃত্তে ৭২° কোণের চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: ৭২°=৭২π/১৮০=২π/৫ রেডিয়ান। s=rθ=১০×২π/৫=৪π সেমি।
প্রশ্ন 7. ব্যাসার্ধ ২১ সেমি বৃত্তে ১২০° বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ১২০°=২π/৩। ক্ষেত্রফল=½×২১²×২π/৩=১৪৭π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 8. একটি বৃত্তের পরিধি ৬২.৮ সেমি। ১.৫ রেডিয়ান কোণের চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: পরিধি=২πr=৬২.৮ ⇒ r≈১০ সেমি (π≈৩.১৪)। s=rθ=১০×১.৫=১৫ সেমি।
প্রশ্ন 9. একটি চাকার ব্যাসার্ধ ২৮ সেমি। ২৫ বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
উত্তর: এক আবর্তনে দূরত্ব=২π×২৮=৫৬π=১৭৬ সেমি। ২৫ বার=৪৪০০ সেমি=৪৪ মিটার।
প্রশ্ন 10. একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ ১৪ মিটার। ২π/৩ রেডিয়ান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ক্ষেত্রফল=½×১৪²×২π/৩=১৯৬π/৩ বর্গমিটার।
প্রশ্ন 11. ৩০° ও π/৬ রেডিয়ান একই কোণ—গাণিতিকভাবে দেখাও।
উত্তর: ৩০°×π/১৮০=π/৬ রেডিয়ান। অতএব ৩০° এবং π/৬ রেডিয়ান সমান কোণ।
প্রশ্ন 12. ২৭০° ও ৩π/২ রেডিয়ান সমান প্রমাণ করো।
উত্তর: ২৭০°×π/১৮০=৩π/২ রেডিয়ান। তাই দুই পরিমাপ সমান।
প্রশ্ন 13. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং কোণ ৬০° হলে চাপের দৈর্ঘ্য πr/৩ প্রমাণ করো।
উত্তর: ৬০°=π/৩ রেডিয়ান। s=rθ সূত্রে s=r×π/৩=πr/৩।
প্রশ্ন 14. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং কোণ ৯০° হলে বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল πr²/৪ প্রমাণ করো।
উত্তর: ৯০°=π/২। ক্ষেত্রফল=½r²θ=½r²×π/২=πr²/৪।
প্রশ্ন 15. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি। ১ রেডিয়ান কোণের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ক্ষেত্রফল=½r²θ=½×৪৯×১=২৪.৫ বর্গসেমি।
প্রশ্ন 16. একটি চাকা ৪ সেকেন্ডে ৩ পূর্ণ আবর্তন করে। কৌণিক সরণ রেডিয়ানে কত?
উত্তর: ৩ পূর্ণ আবর্তন=৩×২π=৬π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 17. ব্যাসার্ধ ১২ সেমি বৃত্তে চাপের দৈর্ঘ্য ১৮ সেমি। কোণ ডিগ্রিতে নির্ণয় করো।
উত্তর: θ=s/r=১৮/১২=১.৫ রেডিয়ান। ডিগ্রি=১.৫×১৮০/π≈৮৫.৯৪°।
প্রশ্ন 18. ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি বৃত্তে চাপের দৈর্ঘ্য ১১ সেমি। কোণ ডিগ্রিতে নির্ণয় করো (π=২২/৭)।
উত্তর: θ=১১/১৪ রেডিয়ান। ডিগ্রি=১১/১৪×১৮০/π=১১/১৪×১৮০×৭/২২=৪৫°।
প্রশ্ন 19. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি। ২π/৭ রেডিয়ান কোণের চাপ ও বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: চাপ=৭×২π/৭=২π সেমি। ক্ষেত্রফল=½×৪৯×২π/৭=৭π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 20. একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ২৫ মিনিটে কত ডিগ্রি এবং রেডিয়ান ঘোরে?
উত্তর: কোণ=৩৬০×২৫/৬০=১৫০°। রেডিয়ান=১৫০×π/১৮০=৫π/৬।
বিভাগ–F: ৫ নম্বরের বিস্তারিত প্রশ্নোত্তর — ২০টি
প্রশ্ন 1. রেডিয়ান পরিমাপের সংজ্ঞা থেকে ১৮০° = π রেডিয়ান সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করো।
উত্তর: ব্যাসার্ধ r বিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধপরিধি πr। অর্ধবৃত্তের কেন্দ্রীয় কোণ ১৮০°। রেডিয়ান সংজ্ঞা অনুযায়ী θ=চাপ/ব্যাসার্ধ। সুতরাং θ=πr/r=π রেডিয়ান। অতএব ১৮০°=π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 2. ডিগ্রি ও রেডিয়ানের রূপান্তর সূত্র দুটি উদাহরণসহ ব্যাখ্যা করো।
উত্তর: যেহেতু ১৮০°=π রেডিয়ান, তাই ডিগ্রি থেকে রেডিয়ানে রূপান্তর: θ°×π/১৮০। যেমন ৬০°=৬০π/১৮০=π/৩। রেডিয়ান থেকে ডিগ্রিতে রূপান্তর: θ×১৮০/π। যেমন ৩π/৪=৩π/৪×১৮০/π=১৩৫°।
প্রশ্ন 3. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি। কেন্দ্রীয় কোণ ১৩৫° হলে চাপের দৈর্ঘ্য ও বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ১৩৫°=৩π/৪ রেডিয়ান। চাপ s=rθ=১৪×৩π/৪=২১π/২ সেমি। ক্ষেত্রফল=½r²θ=½×১৯৬×৩π/৪=৭৩.৫π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 4. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২১ সেমি। ১২০° বৃত্তকলার চাপ, ক্ষেত্রফল এবং সংশ্লিষ্ট পূর্ণ পরিধির অংশ নির্ণয় করো।
উত্তর: ১২০°=২π/৩। চাপ=২১×২π/৩=১৪π=৪৪ সেমি। ক্ষেত্রফল=½×২১²×২π/৩=১৪৭π বর্গসেমি। ১২০°/৩৬০°=১/৩; তাই চাপ পূর্ণ পরিধির এক-তৃতীয়াংশ।
প্রশ্ন 5. একটি সাইকেলের চাকার ব্যাসার্ধ ৩৫ সেমি। সাইকেলটি ১.১ কিমি চললে চাকা কত পূর্ণ আবর্তন করবে?
উত্তর: দূরত্ব=১.১ কিমি=১১০০০০ সেমি। এক আবর্তনে দূরত্ব=২πr=৭০π=২২০ সেমি (π=২২/৭)। আবর্তন সংখ্যা=১১০০০০/২২০=৫০০।
প্রশ্ন 6. একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ৪০ মিনিটে কত কোণ অতিক্রম করে? উত্তর ডিগ্রি ও রেডিয়ান—দুই এককে দাও এবং ব্যাখ্যা করো।
উত্তর: ৬০ মিনিটে ৩৬০°। ৪০ মিনিটে কোণ=৩৬০×৪০/৬০=২৪০°। রেডিয়ানে=২৪০×π/১৮০=৪π/৩।
প্রশ্ন 7. ব্যাসার্ধ ১০ সেমি এবং চাপের দৈর্ঘ্য ১৫ সেমি হলে কেন্দ্রীয় কোণ নির্ণয় করো। কোণটি ডিগ্রিতে আনুমানিক প্রকাশ করো।
উত্তর: θ=s/r=১৫/১০=১.৫ রেডিয়ান। ডিগ্রি=১.৫×১৮০/π≈৮৫.৯৪°।
প্রশ্ন 8. একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ ২৮ মিটার। ৪৫° বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ও চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: ৪৫°=π/৪। চাপ=২৮×π/৪=৭π মিটার=২২ মিটার। ক্ষেত্রফল=½×২৮²×π/৪=৯৮π বর্গমিটার=৩০৮ বর্গমিটার।
প্রশ্ন 9. প্রমাণ করো, θ রেডিয়ান কোণের জন্য বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ½r²θ।
উত্তর: পূর্ণ বৃত্তে কোণ ২π রেডিয়ান ও ক্ষেত্রফল πr²। θ রেডিয়ানের বৃত্তকলা পূর্ণ বৃত্তের θ/(2π) অংশ। তাই ক্ষেত্রফল=(θ/2π)×πr²=½r²θ।
প্রশ্ন 10. একটি চাকার ব্যাস ৮৪ সেমি। ২π/৩ রেডিয়ান কোণে চাকার পরিধির যে অংশ অতিক্রম হয়, তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: ব্যাসার্ধ=৪২ সেমি। চাপ s=rθ=৪২×২π/৩=২৮π সেমি=৮৮ সেমি।
প্রশ্ন 11. একটি বৃত্তে ১৫০° কোণের চাপের দৈর্ঘ্য ৩৫π সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
উত্তর: ১৫০°=৫π/৬। s=rθ ⇒ ৩৫π=r×৫π/৬ ⇒ r=৩৫π×৬/(৫π)=৪২ সেমি।
প্রশ্ন 12. একটি বৃত্তের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ৪৯π বর্গসেমি এবং কেন্দ্রীয় কোণ π/২। ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
উত্তর: ক্ষেত্রফল=½r²θ=½r²×π/২=πr²/৪। πr²/৪=৪৯π ⇒ r²=১৯৬ ⇒ r=১৪ সেমি।
প্রশ্ন 13. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি। ২.২৫ রেডিয়ান কোণে চাপের দৈর্ঘ্য ও বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: চাপ=১৪×২.২৫=৩১.৫ সেমি। ক্ষেত্রফল=½×১৪²×২.২৫=২২০.৫ বর্গসেমি।
প্রশ্ন 14. একটি চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ২০ সেকেন্ডে মোট কৌণিক সরণ রেডিয়ানে নির্ণয় করো।
উত্তর: প্রতি মিনিটে ৯০ আবর্তন, তাই ২০ সেকেন্ডে আবর্তন=৯০×২০/৬০=৩০। মোট কোণ=৩০×২π=৬০π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 15. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি। ২π/৩ কোণের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ও চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে তাদের অনুপাত বের করো।
উত্তর: চাপ=৭×২π/৩=১৪π/৩ সেমি। ক্ষেত্রফল=½×৪৯×২π/৩=৪৯π/৩ বর্গসেমি। ক্ষেত্রফল : চাপ = (৪৯π/৩):(১৪π/৩)=৭:২।
প্রশ্ন 16. একটি বৃত্তাকার দৌড়পথের ব্যাসার্ধ ৩৫ মিটার। একজন দৌড়বিদ ২.৫ রেডিয়ান কোণ অতিক্রম করলে কত দূরত্ব দৌড়ায়?
উত্তর: s=rθ=৩৫×২.৫=৮৭.৫ মিটার।
প্রশ্ন 17. একটি বৃত্তের পরিধি ১৩২ সেমি। ২π/৩ রেডিয়ান বৃত্তকলার চাপ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর: ২πr=১৩২ ⇒ r=১৩২/(২π)=৬৬/π সেমি। চাপ=rθ=(৬৬/π)×২π/৩=৪৪ সেমি। ক্ষেত্রফল=½r²θ=½×(৬৬/π)²×২π/৩=১৪৫২/π বর্গসেমি।
প্রশ্ন 18. একটি ফ্যানের পাখা ১ মিনিটে ১৮০০ বার আবর্তন করে। ২ সেকেন্ডে কৌণিক সরণ রেডিয়ানে কত?
উত্তর: প্রতি সেকেন্ডে আবর্তন=১৮০০/৬০=৩০। ২ সেকেন্ডে ৬০ আবর্তন। মোট কোণ=৬০×২π=১২০π রেডিয়ান।
প্রশ্ন 19. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সেমি। চাপের দৈর্ঘ্য ২২ সেমি হলে কোণ ডিগ্রিতে নির্ণয় করো এবং যাচাই করো।
উত্তর: θ=s/r=২২/১৪=১১/৭ রেডিয়ান। π≈২২/৭ হলে θ=π/2 রেডিয়ান, অর্থাৎ ৯০°। যাচাই: ৯০°-এর চাপ=১৪×π/২=৭π=২২ সেমি।
প্রশ্ন 20. একটি বৃত্তাকার জমির ব্যাসার্ধ ২১ মিটার। ২১০° বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ও চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর: ২১০°=৭π/৬। চাপ=২১×৭π/৬=৪৯π/২ মিটার। ক্ষেত্রফল=½×২১²×৭π/৬=১০২৯π/৪ বর্গমিটার।
দ্রুত পুনরালোচনা
| ডিগ্রি | রেডিয়ান |
| ০° | ০ |
| ৩০° | π/৬ |
| ৪৫° | π/৪ |
| ৬০° | π/৩ |
| ৯০° | π/২ |
| ১২০° | ২π/৩ |
| ১৩৫° | ৩π/৪ |
| ১৫০° | ৫π/৬ |
| ১৮০° | π |
| ২৭০° | ৩π/২ |
| ৩৬০° | ২π |